منبع پایان نامه ارشد درباره E_λ، (x)=e^x+λ، F_λ، زینی

دانلود پایان نامه

(-1) (0)=0، E_(-1)^’ (0)=1 و E_(-1)^” (0)=1 . نمودار E_λ برای λ<-1 و λ>1 نشان می دهد چطور این انشعاب آشکار می شود.( شکل 3 – 25 ).

3 – 25 : انشعاب زینی در تابع نمایی E_λ (x)=e^x+λ [24]

برای اینکه رفتار انشعاب را بفهمیم غالبا این مفید است تا به نمودار انشعاب نگاه کنیم . که یک تصویری در صفحه λ و x است. به عنوان مثال در خانواده کوادراتیک Q_c (x)=x^2+c ما مشاهده می کنیم یک انشعاب زینی در در c=1⁄4 . برای c>1⁄4 نقطه ثابت پیدا نمی کنیم اما برای c<1⁄4 دو نقطه ثابت پیدا می کنیم که به صورت زیر داده می شوند:
p_± (c)=1/2( 1 ± √(1-4c )) ( 3 – 13 )
در نمودار انشعاب پارامتر c را روی محور افقی در برابر نقطه ثابت روی محور قائم رسم می کنیم . نمودار انشعاب برای Q_c در شکل 3 – 26 رسم شده است . توجه کنید که در طول هر خط قائم c = ثابت ، صفر ، یک یا دو نقطه مشابه با نقاط ثابت از Q_c می بینیم .

شکل 3- 26 : نمودار انشعاب برای تابع Q_c (x)=x^2+c [24]

در شکل 3 – 27 نمودار انشعاب برای انشعاب در خانواده تابع های e^x+λ وλx(1-x) رسم شده است [24].

شکل 3 – 27 : نمودار انشعاب برای (الف) F_λ (x)=λx(1-x) ( فقط برای λ>0 ) و (ب) E_λ (x)=e^x+λ [24]

3 – 12 انشعاب دو گانه تناوبی
تعریف: خانواده یک پارامتری از تابع F_λ تحمل می کند یک انشعاب دوگانه تناوبی در مقدار پارامتر λ=λ_0 اگر وجود داشته باشد یک بازه باز I و یک ε>0 به طوری که :
1 – برای هر λ در بازه [λ_0-ε, λ_0+ε]، وجود دارد یک نقطه ثابت p_λ برای F_λ در I .
2 – برای λ_0-ε<λ<λ_0 ، F_λ چرخه از تناوب دو در بازه I ندارد و p_λ جذب کننده است.
3 – برای λ_0<λ<λ_0+ε ، یک چرخه منحصر بفرد دوگانه q_λ^2 و q_λ^I در بازه I با F_λ (q_λ^I )=q_λ^2 وجود دارد. این دو چرخه جذب کننده هستند. با این حال نقطه ثابت p_λ دفع کننده است.
4 – همچنان که λ→λ_0 ما داریم q_λ^i→p_λ0 .
توجه :
1 – بنابراین دو نوع معمولی برای انشعاب دوگانه تناوبی وجود دارند. همچنان که پارامتر ها تغییر می کنند یک نقطه ثابت ممکن است تغییر کند از جذب کننده به دفع کننده و در همان زمان به یک چرخه دوتایی جذب کننده تبدیل شود. به همین نحو نقطه ثابت ممکن تغییر کند از دفع کننده به جذب کننده و در همان زمان به یک چرخه دفع کننده با تناوب دو تبدیل شود.
2 – همچنین در موارد زینی جهتی که انشعاب رخ می دهد ممکن است معکوس شود. همچنین چرخه ممکن است یک انشعاب دوگانه تناوبی را تحمل کند.در این مورد یک چرخه با تناوب n به چرخه با تناوب 2n تبدیل خواهد شد.

شکل 3 – 28 : برای c<-3⁄4 ، Q_c یک نقطه ثابت دفع کننده دارد و یک چرخه دوگانه وجود دارد اما برای c>-3⁄4 یک نقطه ثابت جذب کننده دارد[24]

شکل 3 – 29 : نمودار فازی نزدیک یک نقطه انشعاب دوگانه تناوبی برای تابع Q_c [24]

3 – انشعاب دوگانه تناوبی زمانی اتفاق می افتد که نمودار F_λ به قطر عمود است یعنی موقعی که F_λ^’ (p_λ0 )= -1 باشد. با استفاده از قانون زنجیره ای این بدست می آید که 〖(F_λ^2)〗^’ (p_λ0 )=1 به طوری که نمودار تکرار دوم F_λ مماس به قطر است موقعی که انشعاب دوگانه تناوبی اتفاق می افتد[24].
برای اینکه انشعاب دوگانه تناوبی را بفهمیم اجازه دهید به خانواده تابع Q_c (x)=x^2+c برگردیم. ما به طور تحلیلی توصیف کردیم که انشعاب دوگانه تناوبی در این خانواده در λ=-3⁄4 اتفاق می افتد. اجازه دهید اکنون این انشعاب را به صورت هندسی مورد بررسی قرار دهیم . در شکل 3 – 28 ما تحلیل گرافیکی را برای Q_c در دو مقدار مجزا c یکی قبل از انشعاب و یکی بعد از انشعاب انجام داده ایم. توجه کنید چطور نقطه ثابت p_- از جذب کننده به دفع کننده تغییر می کند همچنان که c سرتاسر -3⁄4 کاهش می یابد . در شکل 3 – 29 نمودار فازی قبل و بعد از انشعاب رسم شده است. در شکل 3 – 30 نمودار Q_c^2 برای مقدار c قبل و در بعد از انشعاب دوگانه تناوبی رسم شده است.درشکل 3 – 31 نمودار انشعاب برای این خانواده رسم شده است در این عکس ما نقاط ثابت و چرخه دوم را برای Q_c نمایش داده ایم [24].

شکل 3 – 30 : نمودار Q_c^2 نزدیک انشعاب دوگانه تناوبی [24]

شکل 3 – 31 : نمودار انشعاب برای تابع Q_c [24]

مثال : خانواده F_λ (x)=λx-x^3 را در نظر بگیرید. توجه کنید که این خانواده یک نقطه ثابت در 0 برای همه λ ها دارد. موقعی که -1<λ<1 ، این نقطه ثابت جذب کننده است.موقعی که λ=-1 ، 0 خنثی است و موقعی که λ<-1 ، 0 دفع کننده است. یک انشعاب دوگانه تناوبی در λ=-1 اتفاق می افتد. آسان ترین راه برای اینکه این را ببینیم این است که توجه کنیم که F_λ یک تابع فرد است. یعنی F_λ (-x)=-F_λ (x) برای همه x باشد.به ویژه اگر F_λ (x_0 )=-x_0 ، پس باید داشته باشیم F_λ^2 (x_0 )=x_0 . که به شرح زیر است:
F_λ^2 (x_0 )=F_λ (-x_0 )=-F_λ (x_0 )=x_0 (3 – 14 )
بنابراین ممکن است رابطه F_λ (x)=-x را حل کنیم تا چرخه دوم را پیدا کنیم. که منجر می شود به رابطه:
λx-x^3=-x ( 3 – 15 )
که همه ریشه ها x=0, ±√(λ+1) هستند. نقطه صفر نقطه ثابت ما است و دیگر ریشه ها چرخه دو را تشکیل می دهند. توجه کنید که این چرخه تنها موقعی آشکار می شود که λ>-1 باشد. یک محاسبه ساده نشان می دهد که چرخه دوگانه برای این مقدار λ دفع کننده است. شکل 3 – 32 نشان می دهد تحلیل گرافیکی F_λ را قبل و بعد از انشعاب و شکل 3 – 33 نمودار انشعاب را می دهد [24].

شکل 3 – 32 : نمودار انشعاب دوگانه تناوبی برای خانواده F_λ (x)=λx-x^3 [24]

شکل 3 – 33 : نمودار انشعاب برای λx-x^3 [24]

فصل چهارم تحلیل انشعاب ترک با استفاده از تئوری انشعاب

< br />

تحلیل انشعاب ترک ها با استفاده از تئوری انشعاب

4 – 1 مقدمه
در این تحقیق انشعاب اول و دوم در ترک مد I در چهار نوع سنگ مورد بررسی قرار گرفته است . برای این منظور از تئوری انشعاب استفاده شده است بدین صورت که ابتدا یک ترک با شرایط اولیه مشخص با استفاده از روابط مکانیک شکست حل شده و نقاط انشعاب اول و دوم آن را به دست اورده بعد همان ترک با استفاده معادله ای که به دست اورده شده و شکل فیزیکی یک ترک به ان داده شده است با استفاده از روش تئوری انشعاب حل شده و دیده شده که نقاط انشعاب اول و دوم تقریبا در هر دو روش یکی می شود.
4 – 2 روش حل مساله
مقدار انرژی رها شده از گسترش ترک از فرمول زیر برای شکست نوع I به دست می آید :
G_I=(1-v^2 ) (K_I^2)/E (4 – 1 )
در اینجا حالت کرنش صفحه ای گرفته می شود که در آن مقاومت ترک ( R ) در طول تحلیل ثابت است
برای تعیین R یا G_c ، یک نمونه از ماده تهیه وآنرا تحت تنش Ϭ قرار می دهیم . Ϭ را انقدر افزایش می دهیم تا قطعه بشکند. با داشتن Ϭ ، a و E مقدار G_c که همان R است به دست می اید راه دوم با داشتن k_Icمی توان G_c را از فرمول بالا محاسبه کرد :
〖R= G〗_Ic=(1-v^2)(K_Ic^2)/E ( 4 – 3)
〖R=G〗_Ic=(1-v^2)(πaϬ^2)/E (4 – 4 )
می توان صفحه ای را که دارای یک ترک با طول معین است را تحت کشش قرار داد و تنش را انقدر زیاد کنیم تا صفحه گسیخته گردد. با استفاده از معلوم بودن بار هنگام شکست می توان تنش بحرانی Ϭ_c را بدست آورد. در اینصورت مقدار بحرانی k_I در لحظه شکست برابر است با :
K_Ic=Ϭ_c √πa ( 4 – 5 )
همانطوری که در شکل ( 3 – 6 – الف ) مشهود است حالت ساده با مقاومت ثابت R را در نظر بگیرید. همچنین فرض می شود که رشد ترک تحت تنش ثابت انجام می گیرد. چون G=(πσ^2 a)/E پس G بطور خطی با a تغییر می کند. وقتی ترک به اندازه a_c گسترش یافت در این لحظه نرخ انرژی رها شده دو برابر R می باشد ( G = 2R ). یعنی از نظر تئوریکی انرژی لازم برای رشد دو ترک در دسترس است.به عبارت دیگر احتمال منشعب شدن ترک در دوشاخه وجود دارد. اگر ترک به اندازه ∆a=2a_c رشد کند یعنی a=3a_c شود در این صورت G = 3R و ترک می تواند در سه شاخه منشعب شود. در این حالت پدیده انشعاب ترک بدون در نظر گرفتن انرژی جنبشی رخ می دهد. یعنی هرگاه انرژی جنبشی رها شده G برای گسترش 2 یا 3 یا … ترک کافی باشد انشعاب رخ خواهد داد[1]. می نیمم سرعت لازم برای انشعاب ترک 0/19V_s می باشد. برای حالتی که انرژی جنبشی را در گسترش ترک دخیل دهیم اگر ترک های انشعابی نیز به گسترش خود ادامه دهند ( چنانچه در شکل ( 3 – 6 ) نشان داده شده )، در اینصورت سرعت لازم برای انشعاب 0/13V_s خواهد بود:
همچنین داریم :
∆a= a_c/2 , a_c/a=0/66
a ̇=0/38V_s (1- a_c/((3⁄2) a_c ))=0/38V_s (1/3)=0/127V_s=0/13V_s
طبق شکل ( 3 – 6 ) اگر a/a_c =2,3,… شود انشعاب ترک رخ می دهد. به کمک معادله ( 3 – 12 ) نتیجه می شود که حداقل سرعت برای انشعاب ترک 0/19V_s می باشد ( اولین انشعاب در a_c/a =0/5 . انشعاب روی سرعت ترک اثر دارد. و قتی انشعاب رخ داد افزایش انرژی جنبشی بجای سطح AHL به سطح ABC – BHF کاهش می یابد. بدین مفهوم که ترک های منشعب شده با سرعتی کمتر از سرعت ترک های منفرد انتشار می یابند [1].
انرژی جنبشی ترک به صورت زیر تعریف می شود:
( 4 – 6 ) E_kin= ∫_(a_c)^a▒(G-R) □(24&da)

این نوشته در پایان نامه ها و مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید