دانشکده ي علوم
پايان‌ نامه کارشناسي ارشد در رشته‌ي
رياضي محض -جبر و توپولوژي
مدول‌هاي دوم روي حلقه‌هاي ناجابجايي
به کوشش
امين رنجبر کهخا
استاد راهنما
دکتر افشين اميني
بهمن 1392
به نام خدا
اظهارنامه
اينجانب امين رنجبر کهخا دانشـجوي رشتـه ي رياضـي محض گـرايـش جبر و توپولـوژي دانشکده ي علوم اظهار مي کنم کـه اين پايان‌‌نامه حاصل پژوهش خـودم بوده و در جاهايي کـه از منابع ديگران استفاده کرده ام، نشاني دقيق و مشخصات کامل آن را نوشته ام، همچنين اظهارمي کنـم کـه تحقيق و موضـوع پايان نامه ام تکـراري نيست و تعهد مي نمايم کـه بـدون مجـوز دانشـگاه دستـاوردهاي آن را منتشر ننموده و يـا در اختيار غير قرار ندهم، کليه حقوق اين اثـر مطابق با آيين نامه مالکيت فکري و معنوي متعلق به دانشگاه شيراز است.
نام و نام خانوادگي: امين رنجبر کهخا
تاريخ و امضا:
تقديم به
پدر و مادر مهربانم که با زحمات و دعاي خيرشان هميشه يار و پشتيبان من بوده و هستند.
و
همسر عزيزم که در کمال از خود گذشتگي در اين راه در کنار من بودند.
و
استاد بزرگوارم جناب آقاي دکتر افشين اميني که در اين مدت الگوي علم و اخلاق من بودند و با زحمات بي دريغشان اين راه را براي من هموار نمودند.
سپاسگزاري
با سپاس به درگاه حضرت احديت که توفيق ادامه تحصيل و انجام تحقيق را به من مرحمت فرموده و از درياي بيکران علم جرعهاي نصيبم نمود. همچنين مراتب قدرداني خود را از زحمات بيدريغ استاد ارجمند جناب آقاي دکتر افشين اميني به محضر ايشان ابراز مينمايم.
علاوه برآن از اساتيد گرانقدرم جناب آقاي دکتر مجيد ارشاد لنگرودي و دکتر بابک اميني که قبول زحمت نموده و مشاوره اين پاياننامه را بر عهده داشتند کمال تشکر و سپاس را دارم.
همچنين از زحمات کليه اساتيد محترم بخش رياضي دانشکده علوم دانشگاه شيراز و مسئولين محترم ساختمان مديريت و تحصيلات تکميلي دانشگاه شيراز صميمانه تشکر و قدرداني مينمايم.
چکيده
مدول‌هاي دوم روي حلقه هاي ناجابجايي
به کوشش
امين رنجبر کهخا
هدف از اين پايان‌نامه، بررسي مقاله “مدول‌هاي دوم روي حلقه‌هاي ناجابجايي” از سکن و آلکان و اسميت است.
فرض کنيديک حلقه دلخواه باشد. يک-‌ مدول راست يکاني غير صفر يک مدول دوم خوانده مي شود اگر و هر تصوير همريخت غير صفر آن داراي پوچ ساز يکسان درباشند. ثابت شده که اگر يک حلقه باشد به طوري که براي هر ايده‌آل اول از، يک حلقه کراندار چپ و گولدي چپ باشد، آنگاه يک- مدول راست يک مدول دوم است اگر و تنها اگر يک ايده‌آل اول حلقهباشد و يک – مدول راست بخش‌پذير باشد.
اگر يک حلقهدر شرط زنجير افزايشي روي ايده‌آل‌هاي دوطرفه صدق کند، آنگاه هر – مدول غير صفر، يک تصوير همريخت غير صفر دارد که مدول دوم است.هر مدول آرتيني غير صفر، شامل زيرمدول‌هاي دوم است و فقط تعداد متناهي عضو ماکسيمال در گردايه زيرمدول‌هاي دوم آن وجود دارد.
فرض مي‌کنيم يک حلقه و يک- مدول راست غير صفر باشد به طوري‌که شامل يک زيرمدول محض است که يک مدول دوم باشد و همچنين داراي بعد دوگان گولدي باشد، براي بعضي اعداد صحيح مثبت مانند ، آنگاه يک عدد صحيح مثبت و ايده‌آل‌هاي اول وجود دارد به طوري که اگر يک زيرمدول محض از باشد که يک مدول دوم باشد، آنگاه داراي پوچ‌ساز براي بعضي است.
هر زيرمدول دوم از يک مدول آرتيني حاصل‌جمع تعداد متناهي از زيرمدول‌هاي دوم پوک است.
کلمات کليدي: ايدهآلهاي اول چسبيده، بعد پوک، مدول دوم، حلقه نيمموضعي.
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل 1: مقدمه 2
فصل 2: تعاريف و قضاياي پيش‌نياز 4
فصل 3: مدول‌هاي نيم‌ساده و مدول‌هاي دوم 19
فصل 4: مدول‌هاي دوم و حلقه گولدي 23
فصل 5: تصوير همريختي‌ها 33
فصل 6: زيرمدول‌هاي دوم39
فصل 7: نتايج بيشتر 43
منابع و مآخذ51

فصل اول

مقدمه

در سراسر اين پايان‌نامه، تمامي حلقه ها شرکت‌پذير هستند و عنصر هماني دارند و تمامي مدول‌ها يکاني راست هستند، مگر اينکه غير از آن بيان شود.
يک- مدول راست اول ناميده مي شود هرگاه ، و براي هر زيرمدول غير صفر از.
منظور از زيرمدول اول از- مدول راست، زيرمدولي مانند است به طوري که اول باشد.
مدول‌هاي اول و زيرمدول‌هاي اول مدول‌ها در سي سال اخير به طور فراوان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. مطالعه مدول‌هاي دوم و زيرمدول‌هاي دوم مدول‌ها موضوع جديدتري است. حال به مفهوم دوگان مدول اول، يعني مدول‌ دوم مي‌پردازيم.
يک – مدول راست، دوم ناميده مي شود هرگاه و براي هر زيرمدول محض از. توجه شود که در بعضي موارد، مدول دوم را هم‌اول نيز مي‌نامند.
همچنين دوگان زيرمدول اول، يعني زيرمدول دوم را تعريف مي‌کنيم.
منظور از زيرمدول دوم يک مدول، زيرمدولي است که خود، مدول دوم باشد.
مدول‌هاي دوم و زيرمدول‌هاي دوم، اولين بار توسط دکتر ياسمي روي حلقه‌هاي جابجايي در منبع در سال 2001 معرفي شده است.
فرض کنيديک حلقه جابجايي و يک مدول غير صفر باشد. براي هر عنصر از حلقه فرض کنيم يک درون‌ريختي مدول باشد که به صورت تعريف مي‌شود.
به سادگي مي‌توان ديد که اول است اگر و تنها اگر به ازاي هر داشته باشيم يا اينکه يک تکريختي باشد. به عبارت ديگر، اول است اگر و تنها اگر براي هر در حلقه و به ازاي هر عضو، اگر داشته باشيم آنگاه يا .
همچنين به سادگي مي‌توان مشاهده کرد- مدول دوم است اگر و تنها اگر براي هر داشته باشيم يا يک بروريختي باشد.
به بيان ديگر، دوم است اگر و تنها اگر براي هر عضو، يا.
هدف از اين پايان‌نامه، مطالعه مدول‌هاي دوم در سايه مدول‌هاي اول است.
توجه داشته باشيد اگريک حلقه و يک- مدول راست دوم باشد، آنگاه يک ايده‌آل اولاست. در اين حالت براي راحتي کار را يک مدول- دوم مي خوانيم.
توجه داشته باشيد که مدول‌هاي ساده، اول و دوم هستند. در حالت کلي تر، ما مدول را نيم ساده همگن مي ناميم، در صورتي کهبرابر حاصل‌جمع مستقيم زيرمدول‌هاي ساده يکريخت باشد. به سادگي مي‌توان ديد که مدول‌هاي نيم ساده همگن، اول و دوم هستند.
علاوه بر آن، اگريک حلقه ساده باشد آنگاه هر مدول غير صفر روي اول و دوم است. بالعکس، هر حلقهکه خودش- مدول راست دوم باشد، ساده است. به وضوح، هر زيرمدول غير صفر از يک مدول اول، اول است.
همچنين هر تصوير همريخت غير صفر از يک مدول دوم، دوم است.
در اين پايان‌نامه مثال هاي بيشتري آورده شده است.

فصل دوم

تعاريف و قضاياي پيش‌نياز

يادآوري2-1: فرض کنيد- مدول راست داده شده است. پوچ‌ساز در را با نشان مي‌دهيم، به عبارت ديگر مجموعه تمام عنصرهاي در است به طوري که . توجه کنيد که يک ايده‌آل از حلقه است.
يادآوري2-2: اگر يک حلقه جابجايي و يکدار باشد ويک ايده‌آل ماکسيمال آن باشد، آنگاه ميدان است.
يادآوري2-3: اگر يک ميدان ويک- مدول باشد، را يک فضاي برداري روي مي‌نامند، در اين حالت براي يک مجموعه انديس‌گذار.
يادآوري2-4: هر ميدان، يک مدول ساده روي خودش است.
قضيه2-5: اگر يک- مدول نيم‌ساده باشد به طوري که ، که ها ساده هستند، آنگاه اگر يک دنباله دقيق – مدولي باشد. آنگاه وجود دارد به طوري که و .
اثبات: براي اثبات به ]4، قضيه 9.4[ مراجعه شود.
بنابر قضيه فوق اگر يک مدول نيم‌ساده و زير مدولي از باشد، آنگاه و .

قضيه2-6: فرض کنيديک حلقه جابجايي و يک- مدول غير صفر باشد. براي هر عنصر از حلقه فرض کنيم يک درون‌ريختي مدول باشد که به صورت تعريف مي‌شود. در اين صورت اول است اگر و تنها اگر به ازاي هر داشته باشيم يا اينکه يک تکريختي باشد.
اثبات: فرض کنيد اول باشد و تکريختي نباشد يعني فرض کنيم آنگاه داريم درنتيجه زيرا مدول اول است. در نتيجه داريم و لذا .
بالعکس، فرض کنيد به سادگي ديده مي‌شود که همواره . حال فرض کنيد. آنگاه داريم در نتيجه از آنجايي که ، پس تکريختي نيست و در نتيجه بنابر فرض . بنابراين . درنتيجه داريم ، و اين به معني اول بودنمي‌باشد.
به عبارت ديگر مدول غير صفر، روي حلقه جابجايي، اول است اگر و تنها اگر براي هر عضو حلقه و به ازاي هر عضو، اگر داشته باشيم آنگاه يا .

قضيه2-7: فرض کنيد يک حلقه جابجايي و يک- مدول غير صفر باشد. براي هر عنصر از حلقه فرض کنيم يک درون‌ريختي مدول باشد که به صورت تعريف مي‌شود. در اين صورت،مدول دوم است اگر و تنها اگر براي هر داشته باشيم يا يک بروريختي باشد.
اثبات: فرض کنيد دوم باشد و بروريختي نباشد، بنابراين که زيرمدولي محض از مدول مي‌باشد. لذا، بنابراين . در نتيجه .
بالعکس، فرض کنيد زيرمدولي محض از باشد، اگر آنگاه و در نتيجه بروريختي نيست. لذا بنا به فرض در نتيجه . لذا داريم
بنابراين .
و در نتيجه دوم است.
به عبارت ديگر، مدول غير صفر روي حلقه جابجاييدوم است اگر و تنها اگر براي هر عضو، يا.
قضيه2-8: اگريک حلقه و يک- مدول اول باشد، آنگاه يک ايده‌آل اول است.
اثبات: اگر براي بعضي ايده‌آل‌هاي واز حلقهداشته باشيم، آنگاه . اگر ، آنگاه از اول بودن مدول نتيجه مي‌شود. بنابراين از نتيجه مي‌شود
.
لذا داريم و در نتيجه . اگر ، آنگاه. بنابراين قضيه اثبات مي‌شود.
قضيه2-9: اگريک حلقه و يک – مدول دوم باشد، آنگاه يک ايده‌آل اولاست.
اثبات: اگر براي بعضي ايده‌آل‌هاي و از حلقه داشته باشيم، آنگاه . اگر ، آنگاه از دوم بودن مدول نتيجه مي‌شود .
بنابراين از، نتيجه مي‌شود. در نتيجه. حال اگر، آنگاه . در نتيجه .
فرض کنيد يک مدول دوم و . در اين صورت را يک مدول- دوم گويند.
قضيه2-10: هر مدول ساده، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنيد يک- مدول ساده باشد. بنابراين تنها زيرمدول غير صفر آن مي‌باشد. بنابراين اول است. از طرفي تنها زيرمدول محض زيرمدول صفر مي‌باشد، بنابراين به‌وضوح داريم . در نتيجه دوم است.
تعريف2-11: مدول را نيم‌ساده گويند هرگاه برابر حاصل‌جمع زيرمدول‌هاي ساده خود باشد. در اين صورت خانواده از زيرمدول‌هاي ساده موجود است. به قسمي که .
تعريف2-12: فرض کنيد يک حلقه باشد. در اين صورت را يک حلقه نيم‌ساده گويند اگربه عنوان- مدول راست (به طور معادل چپ)، يک مدول نيم‌ساده باشد.
يادآوري مي‌کنيم مدول را نيم ساده همگن مي ناميم، در صورتي کهبرابر حاصل‌جمع مستقيم زيرمدول‌هاي ساده يکريخت باشد.
قضيه2-13: هر مدول نيم ساده همگن، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنيد يک- مدول نيم‌ساده همگن باشد. بنابراين مي‌توان فرض کرد، براي يک مجموعه انديس‌گذار و زيرمدول‌هاي ساده يکريخت از. حال اگر، زيرمدول غير صفري از باشد بنابر قضيه 2-5 داريم، براي يک مجموعه انديس‌گذار . حال اگر و، از آنجايي که تمامي ها يکريخت هستند داريم
،
بنابراين اول است.
حال اگر، زيرمدولي محض از باشد. داريم، براي يک مجموعه انديس گذار . با تکرار روند فوق مي‌توانيم نتيجه بگيريم لذا دوم است.
حلقه را يک حلقه ساده گويند، هرگاه ايده‌آل دوطرفه غير بديهي نداشته باشد.
قضيه2-14: اگريک حلقه ساده باشد، آنگاه هر مدول غير صفر روي، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنيد يک- مدول راست و زيرمدول غير صفر از باشد. از آنجايي که يکدار است داريم، و همچنين. از طرفي ساده است و پوچ‌سازها ايده‌آل هستند، بنابراين. در نتيجه اول است.
حال اگر زيرمدول محض باشد، يک مدول غير صفر مي‌باشد. حال مشابه روند اثبات فوق مي‌توان نتيجه گرفت . بنابراين دوم است.
قضيه2-15: فرض کنيديک حلقه باشد. اگر به عنوان- مدول راست، مدولي دوم باشد آنگاه يک حلقه ساده است.
اثبات: فرض کنيد، ايده‌آل محض باشد. به‌وضوح، از طرفي از آنجايي که حلقه يکدار است مي‌توان نتيجه گرفت . حال از دوم بودن- مدولداريم ، بنابراين . در نتيجه. پس به عنوان- مدول، ساده است.
قضيه2-16: هر زيرمدول غير صفر از يک مدول اول، اول است.
اثبات: فرض کنيديک- مدول اول و زيرمدول غير صفر ازباشد. حال اگر زيرمدول غير صفر باشد، زيرمدول نيز است. بنابر اول بودن داريم . لذا اول است.
قضيه2-17: هر تصوير همريخت غير صفر از يک مدول دوم، دوم است.
اثبات: فرض کنيد، يک- مدول دوم باشد. آنگاه هر تصوير همريخت غير صفر به ازاي يک زيرمدول محض از، با يکريخت است. حال اگر، زيرمدولي از شامل باشد، بنابر دوم بودن مدول داريم
.
بنابراين . در نتيجه مدول ، دوم است.
يادآوري2-18: هر زيرمدول انژکتيو از يک مدول، جمعوند مستقيم مدول اصلي مي‌شود.
يادآوري2-19: اگر يک- مدول ساده باشد، آنگاه براي بعضي ايده‌آل‌هاي ماکسيمال راست از، .
يادآوري2-20: فرض کنيد، يک- مدول و، و زيرمدول‌هاي باشند، در اين صورت داريم
،
علاوه بر آن اگر، آنگاه تساوي برقرار است و رابطه فوق به صورت زير خواهد شد.

اين گزاره به قانون مدولار معروف است.
تعريف2-21: حلقه، يک حلقه منظم وان‌نيومن است هرگاه براي هر، وجود داشته باشد به طوري‌که .
قضيه2-22: در حلقه منظم وان‌نيومن جابجايي هر ايده‌آل اول، ماکسيمال است.
اثبات: فرض کنيديک حلقه منظم وان‌نيومن جابجايي و ايده‌آل اول حلقه باشد، آنگاه حلقه يک دامنه صحيح و همچنين منظم وان‌نيومن جابجايي است. حال اگر ، آنگاه وجود دارد ، به طوري که . در نتيجه. از آنجايي که يک دامنه صحيح و است، داريم ، در نتيجه . بنابراين هر عضو غير صفر، وارون پذير است. لذا ميدان است و بنابراين ايده‌آل ماکسيمال حلقهاست.

تعريف2-23: ايده‌آل از حلقه را اوليه راست گويند هرگاه يک- مدول راست ساده موجود باشد به طوري‌که.
اگر در حلقه، ايده‌آل اوليه باشد، آنگاه حلقه را حلقه اوليه گويند.
تعريف2-24: زيرمدول از- مدول غير صفر را اساسي گويند، و آن را با نماد نشان مي‌دهيم، هرگاه براي هر زير مدول از از، نتيجه شود.
تعريف2-25: زيرمدول از- مدول غير صفر را در کوچک يا زائد گويند، و آن را با نماد نشان مي‌دهيم، هرگاه به ازاي هر زيرمدول محض از داشته باشيم.
تعريف2-26: اگر و دو- مدول باشند ويک همريختي- مدولي باشد، دوتايي را يک پوشش پروژکتيو براي مي‌نامند هرگاه مدولي پروژکتيو و يک بروريختي باشد به طوري که باشد.
تعريف2-27: حلقه را کامل راست گويند اگر هر- مدول راست، يک پوشش پروژکتيو داشته باشد.
تعريف2-28 : فرض کنيد يک حلقه باشد. راديکال جيکوبسن را که با نشان داده مي‌شود برابر است با اشتراک تمام ايده‌آل‌هاي راست ماکسيمال.
يادآوري2-29: فرض کنيد يک حلقه باشد، آنگاه برابر با اشتراک تمام ايده‌آل‌هاي اوليه راست است.
قضيه 2-30 (قضيه باس): فرض کنيد يک حلقه و، راديکال جيکوبسن باشد، آنگاه گزاره‌هاي زير معادلند:
يک حلقه کامل راست است،
، نيم‌ساده است و هر- مدول راست غير صفر، شامل يک زيرمدول ماکسيمال است.
براي مشاهده صورت کامل اين قضيه و اثبات آن مي‌توانيد به ]4، قضيه 28.4[ مراجعه کنيد.
تعريف2-31: زيرمدول از يک- مدول راست را زيرمدول خالص گويند هرگاه براي هر ايده‌آل چپ از، داشته باشيم .
تعريف2-32: فرض کنيديک حلقه باشد. را منظم راست گويند هرگاه براي هر عضو غير صفر از حلقه مانند، .
به طور مشابه عضو منظم چپ نيز تعريف مي‌شود. را منظم گويند هرگاه منظم چپ و منظم راست باشد.
تعريف2-33:- مدول راست را بخش‌پذير گويند هرگاه به ازاي هر عضو منظم از حلقه. در[23] تعريف‌هاي ديگري از بخش‌پذيري آمده است.
تعريف2-34: مدول غير صفر را يکنواخت گويند هرگاه هر زير مدول غير صفر، زير مدولي اساسي باشد.
تعريف2-35: گوييم مدول داراي بعد يکنواخت يا بعد گولدي مي‌باشد، اگر زيرمدول اساسي از وجود داشته باشد که، و در آنها زيرمدول يکنواخت از هستند. اگر چنين عدد صحيحي موجود نباشد گوييم داراي بعد يکنواخت نامتناهي است.
تعريف2-36: حلقهرا گولدي راست گويند اگر داراي بعد يکنواخت متناهي باشد و در شرط زنجير افزايشي روي ايده‌آل‌هاي پوچ‌ساز راست صدق کند. (به طور مشابه گولدي چپ تعريف مي شود).
تعريف2-37: حلقه را يک حلقه اول گويند، هرگاه ايده‌آل يک ايده‌آل اول در حلقه باشد.
تعريف2-38: يک حلقه اول را کراندار راست گويند اگر هر ايده‌آل راست اساسي شامل يک ايده‌آل دو طرفه غير صفر باشد. به طور مشابه، حلقه کراندار چپ نيز تعريف مي‌شود.
تعريف2-39: حلقه را نيم اول گويند، هرگاه براي هر ايده‌آل از، نتيجه دهد.
تعريف2-40: – مدول راست را بي‌تاب گويند هرگاه براي هر عضو غير صفر از مدول و عنصر منظم .
قضيه2-41(قضيه گولدي): براي هر حلقه، گزاره‌هاي زير معادلند:
، نيم‌اول و گولدي راست است،
يک ايده‌آل راست، يک زيرمدول اساسي ازاست اگر و تنها اگر شامل يک عنصر منظم باشد.
براي مشاهده صورت کامل قضيه و اثبات آن به ]13، قضيه 11.13[ مراجعه کنيد.
لم2-42: هر مدول انژکتيو، بخش‌پذير است.
براي اثبات به ]13، بخش سوم[ مراجعه شود.
تعريف2-43: يک- مدول راست را يکدست گويند اگر به ازاي هر دنباله دقيق از – مدول‌هاي چپ، دنباله دقيق باشد.
قضيه2-44: اگر يک- مدول راست يکدست و زير مدول باشد، آنگاه يکدست است اگر و تنها اگر زيرمدول خالص از باشد.
اثبات: به ]4، صفحه 232[ مراجعه شود.
قضيه2-45: يک حلقه، وان نيومن منظم است اگر و تنها اگر هر مدول راست روي آن، يکدست باشد.
اثبات: به ]4، صفحه 233[ مراجعه شود.
تعريف2-46: فرض کنيد يک- مدول باشد. ايده‌آل اول از را ايده‌آل چسبيده گويند هرگاه زيرمدول محض از موجود باشد به طوري که يک مدول- دوم باشد.
تعريف2-47: مدول غير صفر را مدول باس گويند هرگاه هر زيرمدول محض آن مشمول در يک زيرمدول ماکسيمال باشد.
بنابر قضيه باس مي‌توان گفت روي يک حلقه کامل راست هر مدول غير صفر، مدول باس است.
لم2-48: هر ايده‌آل چسبيده يک مدول باس، اوليه است.
اثبات: اگر يک ايده‌آل چسبيده مدول باس باشد، آنگاه زيرمدول محض از وجود دارد به طوري که، – دوم است. حال از آنجايي که، مدول باس است، زيرمدول ماکسيمال از مانند وجود دارد به طوري که . از آنجايي که ، – دوم است داريم

از ماکسيمال بودن مي‌توان نتيجه گرفت ساده است و بنابراين ايده‌آل اوليه راست است.
تعريف2-49: حلقهرا نيم‌موضعي گويند هرگاه نيم ساده باشد.
قضيه2-50: ايده‌آل‌هاي چسبيده- مدول راست، دقيقاً برابر ايده‌آل‌هاي اوليه راست مي‌باشند.
اثبات: داشتيم هر ايده‌آل چسبيده يک مدول باس، اوليه است. از آنجايي که- مدول راست، متناهياً توليد شده است لذا هر ايده‌آل راست محض مشمول در يک ايده‌آل راست ماکسيمال مي‌شود. در نتيجه به عنوان – مدول، يک مدول باس است. حال اگر يک ايده‌آل اوليه حلقه باشد، آنگاه يک- مدول ساده وجود دارد به طوري که. حال از ساده بودن مي‌توان نتيجه گرفت که ايده‌آل راست ماکسيمال حلقه است. بنابراين. از طرفي ساده است و در نتيجه دوم است. بنابراين ايده‌ال چسبيده است.

قضيه 2-51(قضيه ودربرن-آرتين): حلقه، نيم‌ساده است اگر و تنها اگر يکريخت با حاصل‌جمع مستقيم تعداد متناهي حلقه آرتيني ساده باشد.
اثبات: براي مشاهده اثبات به]4، قضيه 13.6[ مراجعه شود.

قضيه2-52: اگر يک حلقه نيم‌موضعي باشد آنگاه فقط تعداد متناهي ايده آل اوليه راست دارد.
اثبات: ابتدا ثابت مي کنيم که اگر و دو حلقه و . در اين صورت ايده‌آلي از حلقه است اگروتنها اگر ايده‌آل‌هاي از حلقه و از حلقه موجود باشند به طوري که .
براي اثبات ابتدا فرض کنيد ايده‌آلي از حلقه باشد. تعريف مي‌کنيم:

ادعا مي‌کنيم که ايده‌آلي از حلقه است. براي اثبات، فرض مي‌کنيم و ، پس با توجه به تعريف داريم و. حال چون ايده‌آلي از حلقه‌ي است، بنابراين

و
که اين نتيجه مي‌دهد و.
به طريق مشابه اگر تعريف کنيم:

در اين صورت نيز ايده‌آلي از حلقه مي‌شود. حال ثابت مي‌کنيم که.
واضح است که، زيرا اگر، آنگاه و. در نتيجه و، پس داريم. حال فرض مي‌کنيم . پس و و با توجه به تعاريف و داريم که اين هم نتيجه مي‌دهد.
اثبات قسمت برگشت بديهي است. حال فرض کنيديک حلقه نيم‌موضعي باشد، بنابراين يک حلقه نيم ساده مي‌باشد. حال بنابر قضيه ودربرن- آرتين يکريخت با حاصل‌جمع مستقيم تعداد متناهي حلقه آرتيني ساده است. لذا بنابر لم قبل تعداد متناهي ايده‌آل دارد. از طرفي راديکال جيکوبسن برابر با اشتراک تمام ايده‌آل‌هاي اوليه راست است. بنابراين اگر ايده‌آل راست اوليه حلقه باشد، داريم.
بنابراين ايده‌آل حلقه است. از آنجايي که تعداد متناهي ايده‌آل دارد، بنابراين تعداد متناهي ايده‌آل اوليه راست دارد.

تعريف2-53: فرض کنيد يک حلقه و زيرمجموعه باشد. آنگاه را- پوچ‌توان راست گويند هرگاه براي هر دنباله از عناصر، عدد صحيح مثبتي مانند وجود داشته باشد به طوري که.
بوضوح هر مجموعه پوچ توان،- پوچ‌توان است.
لم2-54: فرض کنيد يک حلقه و ايده‌آل راست آن باشد، آنگاه گزاره‌هاي زير معادلند:
ايده‌آل- پوچ‌توان راست است.
براي هر- مدول راست غير صفر داريم.
اثبات: براي مشاهده اثبات به ]4، لم 28.3[ مراجعه کنيد.

تعريف2-55: فرض کنيد زيرمدولي از- مدول باشد. منظور از مکمل در، زيرمدولي از مانند است که در گردايه زيرمدول‌هاي از که در شرط صدق مي‌کنند، مينيمال است.
تعريف2-56: زيرمدول از را مکمل در گويند هرگاه زيرمدولي مانند از وجود داشته باشد به طوري که مکمل در ‌باشد.
لم2-57: فرض کنيد يک- مدول و و دو زيرمدول باشند، به طوري که مکمل در باشد. آنگاه و درنتيجه.
اثبات: فرض کنيد زيرمدولي ازباشد به طوري که. آنگاه . حال از آنجايي که مکمل است، داريم . پس.
تعريف2-58: مدول مکمل شده، مدولي است که هر زيرمدول آن مکمل داشته باشد.
تعريف2-59: مدول را مکمل شده قوي مي‌نامند هرگاه براي هر دو زيرمدول و از که، شامل يک مکمل براي در باشد.
مدول‌هاي آرتيني، مکمل شده قوي هستند. زيرا اگر يک مدول آرتيني و و زيرمدول‌هاي آن باشند، به طوري که آنگاه فرض کنيد برابر گردايه تمام زير مدول‌هاي از باشد به طوري که. از آنجايي که مدول، آرتيني است. بنابراين اين گردايه عضو مينيمالي مانند دارد. به‌وضوح مکملي براي درمي‌باشد.
تعريف2-60: فرض کنيد يک حلقه باشد، بنابر ]9، صفحه 8[، يک خانواده غير تهي از زيرمدول‌هاي- مدول را هم- مستقل گويند هرگاه براي هر و زير مجموعه متناهي از ، داشته باشيم

تعريف2-61: – مدول را پوک گويند هرگاه و برابر جمع هيچ دو زيرمدول محض از خود نباشد. به عبارت ديگر پوک است اگر و تنها اگر هر زيرمدول غير صفر در کوچک باشد.
تعريف2-62: بنابر ]9، صفحه 47[ مي‌توان گفت مدول غير صفر داراي بُعد دوگان گولدي متناهي است اگر شامل خانواده نامتناهي از زيرمدول‌هاي هم‌‌- مستقل نباشد، و در اين حالت عدد صحيح مثبت وجود دارد، که به آن بُعد پوک يا بعد دوگان گولدي گويند، به طوري که، برابر سوپريمم اعداد صحيح مثبتي مانند است که به تعداد زيرمدول هم- مستقل دارد.
در ]9، 5.2[ ثابت شده است که داراي بعد پوک است، براي يک عدد صحيح مثبت ، اگر و تنها اگر مدول‌هاي پوک و بروريختي وجود داشته باشد، به طوري که هسته در کوچک باشد. همچنين اگر، آنگاه بعد دوگان گولدي مدول با بعد دوگان گولدي مدول برابر است. همچنين اگر ، بعد دوگان گولدي برابر جمع بعد دوگان گولدي و بعد دوگان گولدي است.
قضيه2-63: فرض کنيد يک حلقه و يک- مدول آرتيني باشد، آنگاه داراي بعد دوگان گولدي متناهي است.
اثبات: فرض کنيد يک- مدول آرتيني باشد که داراي بعد دوگان گولدي متناهي نباشد. بنابراين مي‌توان گردايه اي نامتناهي از زيرمدول‌هاي هم- مستقل را در نظر گرفت. فرض کنيد يک زيرمجموعه نامتناهي از باشد. از آرتيني بودن مي‌توان نتيجه گرفت زنجير متوقف مي‌شود. فرض کنيد عدد صحيح مثبتي باشد که داشته باشيم . در نتيجه. بنابراين . که تناقض است.

تعريف2-64: يک خانواده از زيرمدول‌هاي را معکوس گويند هرگاه به ازاي هر وجود داشته باشد به طوري که.
تعريف2-65: گوييم مدول، در شرط صدق ميکند(مدول را – مدول گوييم) هرگاه براي هر زيرمدول از و خانواده معکوس از زيرمدول‌هاي، داشته باشيم
.
به عنوان مثال،- مدول در شرط صدق نمي‌کند. زيرا اگر خانواده از زيرمدول‌هاي را در نظر بگيريم، آنگاه اين خانواده، معکوس است. داريم ، اما . ولي بنابر ]22، مثال 6.24[، هر مدول آرتيني در شرط صدق مي‌کند. همچنين هر زيرمدول و هر تصويرهمريختي مدول، يک مدول است.

لم2-66: فرض کنيد يک حلقه اول باشد. در اين صورت هر ايده‌آل غير صفر از يک زيرمدول اساسي است.
اثبات: فرض کنيد يک ايده‌آل غير صفر حلقه باشد. در اين صورت براي هر ايده‌آل راست از، اگر، آنگاه. حال از آنجايي که حلقه اول است، ايده‌آل اول است و در نتيجه. بنابراين يک زيرمدول اساسي مي‌باشد.

فصل سوم

مدول‌هاي نيم‌ساده و مدول‌هاي دوم
در فصل دوم ديديم که مدول‌هاي نيم‌ساده همگن، دوم هستند. در اين فصل به بررسي شرايطي مي‌پردازيم که عکس اين گزاره برقرار باشد. يعني مدول‌هاي دوم، نيم‌ساده همگن باشند.
لم3-1: فرض کنيد يک حلقه باشد به طوري که هر ايده‌آل اول آن ماکسيمال است. آنگاه يک- مدول راست اول است اگر و تنها اگر دوم باشد. علاوه بر آن، اگر يک حلقه جابجايي باشد آنگاه مدول دوم است اگر و تنها اگر يک مدول نيم ساده همگن باشد.
اثبات: ابتدا فرض کنيد اول است. آنگاه و ايده‌آل اول حلقه مي‌باشد، لذا بنابر فرض، ايده‌آل ماکسيمال است. فرض کنيد يک زيرمدول محض دلخواه از باشد، آنگاه داريم و در نتيجه . اما ماکسيمال بودن ايده‌آل نتيجه مي‌دهد که و در نتيجه يک مدول دوم است.
حال فرض کنيد يک مدول دوم است. آنگاه يک ايده‌آل اول و در نتيجه يک ايده‌آل ماکسيمال در است. اگر زيرمدولي غير صفر از باشد، داريم و درنتيجه . از آنجايي که ماکسيمال است، . بنابراين يک مدول اول است.
حال براي اثبات قسمت آخر فرض کنيد يک حلقه جابجايي باشد و يک- مدول دوم باشد. آنگاه يک ايده‌آل اول حلقه و در نتيجه ماکسيمال است. داريم و لذا يک – مدول است. از آنجايي که ميدان است، يک فضاي برداري روي مي‌باشد.
در نتيجه براي يک مجموعه انديس گذار. در نتيجه نيم ساده همگن است. عکس اين گزاره را در فصل دوم اثبات کرده ايم.
حال سوال اين است که تحت چه شرايطي مدول دوم، نيم‌ساده همگن است.
نتيجه3-2: فرض کنيد يک حلقه منظم وان‌نيومن جابجايي باشد. آنگاه يک- مدول راست غير صفر يک مدول دوم است اگر و تنها اگر يک مدول نيم ساده همگن باشد.
اثبات: بنابر2-22 در حلقه منظم وان‌نيومن جابجايي هر ايده آل اول، ماکسيمال است. حال با توجه به لم قبلي، نتيجه برقرار است.
لم3-3: فرض کنيد يک حلقه باشد به طوري که براي هر ايده‌آل اوليه راست، حلقه آرتيني راست باشد. آنگاه گزاره هاي زير براي يک- مدول راست معادلند:
يک مدول اول است که شامل يک زيرمدول ساده است،
يک مدول دوم است که شامل يک زيرمدول ماکسيمال است،
يک مدول نيم ساده همگن است.
اثبات:: فرض کنيد يک زيرمدول ساده از مدول اول باشد. اگر، آنگاه ايده‌آل اوليه راست از است، و بنابراين ،يک حلقه اوليه راست و آرتيني راست است. حال از آنجايي که اول است داريم و در نتيجه ، پس يک – مدول مي‌باشد. از آنجايي که يک حلقه آرتيني راست و اوليه راست است، بنابر]14، قضيه 11.7[، هر حلقه اوليه آرتيني، نيم‌ساده است. بنابراين يک حلقه نيم‌ساده مي‌باشد. بنابر ]4[ مي‌دانيم هر مدول روي يک حلقه نيم‌ساده، نيم‌ساده است. بنابراين يک – مدول نيم‌ساده است. ضمناً حلقه‌اي ساده مي‌باشد، و لذا دقيقاً يک – مدول ساده موجود است.
لذا يک – مدول نيم‌ساده همگن است، و در نتيجه نيم‌ساده همگن است.
: فرض کنيد زيرمدول ماکسيمال از مدول دومباشد. اگر، آنگاه از آنجايي که ساده است، ايده‌آل اوليه از است. حال بنابر دوم بودن مدول و تکرار روند فوق، قضيه اثبات مي‌شود.
و: قبلاً ثابت کرديم هر مدول نيم ساده همگن، اول و دوم است. بوضوح هر مدول نيم ساده همگن شامل زيرمدول ماکسيمال و زيرمدول ساده مي‌باشد.
نتيجه3-4: فرض کنيد يک حلقه کامل راست باشد. آنگاه يک- مدول راست يک مدول دوم است اگر و تنها اگر يک مدول نيم‌ساده همگن باشد.
اثبات: قسمت برگشت واضح است. براي اثبات قسمت رفت، فرض کنيد يک مدول دوم باشد. آنگاه غير صفر است و بنابر قضيه باس داراي زيرمدول ماکسيمال است. از طرفي دوباره بنابر قضيه باس در حلقه کامل راست، نيم‌ساده مي‌شود. همچنين برابر اشتراک تمام ايده‌آل هاي اوليه است و بنابراين به ازاي هر ايده‌آل اوليه داريم، و در نتيجه . حال از آنجايي که نيم‌ساده است و هر خارج قسمت يک مدول نيم ساده، نيم‌ساده است. بنابرايننيز نيم ‌ساده است. در نتيجه آرتيني راست است. حال بنابر لم قبل، نيم‌ساده همگن است.

فصل چهارم

مدول‌هاي دوم و حلقه‌ گولدي
در اين فصل، ما به بررسي معادل‌هايي براي مدول‌هاي دوم مي‌پردازيم. توجه کنيد در اين فصل، يک حلقه و يک- مدول راست است.
لم4-1 : فرض کنيد يک حلقه دلخواه باشد. براي يک- مدول غير صفر گزاره‌هاي زير معادلند:
يک مدول دوم است،
براي هر ايده‌آل از داريم يا ،



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید