وزارت علوم، تحقيقات و فناوري
دانشگاه علوم و فنون مازندران
پاياننامه
مقطع کارشناسي ارشد
رشته مهندسي عمران- سازه
عنوان :
تعيين تابع امپدانس ترکيبي افقي و گهوارهاي براي يک پي مستطيلي صلب مستقر بر يک نيمفضاي ايزوتروپ جانبي
استاد راهنما :
دکتر مرتضي اسکندري قادي‌
استاد مشاور :
مهندس عزيزالله اردشير بهرستاقي
دانشجو :
علي رهنماي سپهر
زمستان 1391
تقديم به:
پدر و مادر مهربانم
تشکر و قدرداني:
بر من واجب است، بدينوسيله از رهنمودهاي ارزنده اساتيد بزرگوار و عالم، جناب آقاي دکتر مرتضي اسکندري قادي و جناب آقاي مهندس عزيزالله اردشير بهرستاقي که با صبر و شکيبايي اينجانب را در انجام اين پاياننامه راهنمايي نمودند، سپاسگذاري و قدرداني نمايم.
همچنين بدينوسيله از بخش پردازشهاي سريع پژوهشگاه دانشهاي بنيادي(IPM) به خاطر همکاريهاي بيشائبهشان در زمينه محاسبات عددي اين پاياننامه کمال تشکر و قدرداني ميشود و اميد آن است که اين همکاري در آينده نيز ادامه يابد.
Acknowledgement: The numerical results presented in this thesis were carried out on the High Performance Computing Cluster supported by the computer science department of Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM).
چكيده
در اين پايان‌نامه توابع امپدانس1 افقي، گهواره‌اي (خمشي) و توام افقي- گهواره‌اي شالوده‌هاي مربع مستطيلي مستقر بر سطح محيط خاکي با رفتار ايزوتروپ جانبي و ارتجاعي به‌روش تحليلي در فضاي فركانسي به‌دست مي‌آيند به‌طوري که مي‌توانند به صورت پارامترهاي متمرکز جايگزين خاك زير شالوده شوند. بدين منظور ابتدا معادلات حاكم بر سيستم مشترک شالوده و خاک زير آن در دستگاه مختصات استوانه‌اي بيان شده و بر حسب مؤلفه‌هاي بردار تغييرمكان به‌صورت يك سري معادله ديفرانسيـل درگير با مشتقات جزئي نوشته مي‌شوند. براي مجزاسازي اين معادلات از توابع پتانسيلي2 كه توسط اسكندري قادي در سال 2005 ارائه شده، استفاده مي‌شود. معادلات به‌دست آمده با استفاده از سري فوريه نسبت به ‌مختصه زاويه‌اي و تبديل هنکل نسبت به ‌مختصه شعاعي در دستگاه مختصات استوانه‌اي براي بار متمرکز حل شده و توابع گرين تغييرمکان و تنش به‌دست مي‌آيند. با تبديل مختصات از دستگاه قطبي به ‌دستگاه دکارتي، نتايج در دستگاه مختصات دکارتي نوشته شده و با استفاده از انتقال دستگاه مختصات، توابع گرين براي محل اثر دلخواه نيروي متمرکز خارجي تعيين مي‌شوند. سپس با بکارگيري اصل جمع آثار قوا (بر هم نهي)، تغييرمکان‌ها و تنش‌ها در محيط ناشي از بارگذاري سطحي با شکل دلخواه به‌صورت انتگرالي به‌دست مي‌آيند. در حالت کلي اين انتگرال‌ها به‌صورت تحليلي قابل استحصال نبوده و بايد به‌صورت عددي برآورد شوند. براي مدل‌سازي شالوده صلب، لازم است تغييرمکان نقاط مختلف شالوده چنان نوشته شوند که تغيير فاصله نقاط مختلف شالوده را غير ممکن سازد. به‌منظور اعمال اين شرط به ‌شکل عددي، تنش تماسي شالوده و خاک زير آن به ‌فرمت اجزاء محدود با المان‌هاي جديد تحت نام المان گرادياني پويا3 نوشته شده و با ارضاء شرايط مرزي تغييرمکاني مسئله، توابع تنش، تغييرمکان و سختي افقي و خمشي (گهواره اي) شالوده صلب مستطيلي تعيين مي‌شوند. بدين ترتيب تنش تماسي زير شالوده صلب تعيين شده و از آن اندازه نيروي تماسي و يا گشتاور خمشي براي تغييرمكان افقي و گهواره اي هر يک با دامنه ثابت به‌دست ميآيند. ماتريس تبديل بردار تغيير مکان- تغيير زاويه به بردار نيروي افقي- گشتاور خمشي را ماتريس توابع امپدانس ميناميم. اين ماتريس با داشتن دو بردار فوق تعيين ميشود. نشان داده مي‌شود كه نتايج به‌دست آمده حاصل از اين روش براي محيط ايزوتروپ بر نتايج قبلي ارائه شده توسط لوکو4 وميتا5 وگوييزنا6 منطبق است. همچنين نتايج براي حالت استاتيكي با حدگيري از نتايج اصلي براي زماني که فرکانس تحريک به سمت صفر ميل ميکند، به‌دست مي‌آيند. در صورتي‌كه فركانس تحريك به ‌سمت صفر ميل كند و رفتار محيط به‌طور حدي به‌سمت ايزوتروپ ميل كند، نتايج ناشي از تغيير مکان استاتيکي براي محيط ايزوتروپ به‌صورت بسته به‌دست مي‌آيند.
فهرست مطالب
فصل اول: معادلات کلي حاکم بر انتشار امواج در محيطهاي ايزوتروپ جانبي و شرايط مرزي مساله10
1-1- مقدمه11
1-2- بيان مسأله و معادلات حاکم16
1-3- توابع پتانسيل19
1-4- جواب کلي معادلات حرکت26
فصل دوم: حالات خاص و توابع گرين در حالت کلي33
2-1- مقدمه34
2-2- نيروي متمرکز در جهت دلخواه34
2-3- نتايج براي محيط ايزوتروپ35
2-4- نتايج براي حالت استاتيکي37
2-5-تبديل دستگاه مختصات قطبي به دستگاه ‌مختصات دکارتي و انتقال محورها41
فصل سوم: تابع امپدانس شالوده صلب مستطيلي با استفاده از توابع گرين46
3-1- مقدمه47
3-2- تحليل شالوده صلب مستطيلي تحت تغييرمکان همزمان افقي و گهوارهاي47
3-3-1- توابع شکل مورد استفاده48
3-3-1-1- توابع شکل المان‌هاي لبه‌اي 8 گره‌اي ()49
3-3-1-2- توابع شکل المان‌هاي مياني 8 گره‌اي ()52
3-3-1-3- توابع شکل المان‌هاي گوشه 8 گره‌اي ()52
3-4- فلوچارت برنامه‌نويسي براي تحليل مسأله56
فصل چهارم: نتايج عددي58
4-1- مقدمه59
فصل پنجم: نتيجهگيري و پيشنهادات84
5-1- مقدمه85
5-2- پيشنهادات85
فهرست مراجع86
فهرست جداول
جدول 4-1- ضرايب ارتجاعي مصالح انتخاب شده………………………………………………………61
جدول 4-2- سختي استاتيکي در محيطهاي متفاوت…………………………………………………..62
جدول 4-3- سختي ديناميکي در حالت مربعي…………………………………………………………..63
جدول 4-4- سختي ديناميکي در حالتي که يک ضلع نصف ضلع ديگر باشد…………………………………….64
فهرست اشکال
شكل 1-1- شكل شماتيك ساختمان، شالوده و زمين زير آنها………………………………………….12
شكل 1-2- شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمين زير آنها……………….13
شكل 1-3- شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و توابع امپدانس
معادل خاك……………………………………………………………………………………………..13
شکل 1- 4- بريدگي‌هاي شاخه براي ?1،?2 و?3……………………………………………………………26
شکل 1- 5- محيط نيمه بي‌نهايت با رفتار ايزوتروپ جانبي تحت اثر نيروي با امتداد
دلخواه موثر بر سطح موْثر بر سطح ………………………………….27
شکل 2-1- تبديل مختصات از دستگاه استوانه‌ايبه دستگاه مختصات
دکارتي و انتقال محورها……………………………………………………………41
شکل 3-1- تغييرمکان همزمان افقي و گهوارهاي يکنواخت پي صلب مستطيلي………………..47
شکل 3-2- نحوه المان‌بندي در محل تماس شالوده و نيم فضا……………………………………….49
شکل 3-3- توابع شکل المان‌هاي لبه اي 8 گرهي () به‌ازاي ………….51
شکل 3-4- توابع شکل المان‌هاي مياني 8 گرهي () به‌ازاي ……………..53
شکل 3-5- توابع شکل المان‌هاي گوشه 8 گرهي () به‌ازاي ………….54
شکل 3-6- تابع به‌ازاي ………………………………………………….55
شكل 4-1- تغييرات تغيير‌مکان درسطح نسبت به ناشي از تغيير‌مکان
افقي و گهوارهاي يک صفحه صلب مربعي به ضلع براي محيط‌هاي
متفاوت در حالت استاتيکي………………………………………………………………………66
شكل 4-2- تغييرات تغيير‌مکان در و بر حسب عمق ناشي از
تغيير‌مکان افقي و گهوارهاي يک صفحه صلب مربعي به ضلع
براي محيط‌هاي متفاوت در حالت استاتيکي……………………………………………….67
شكل 4-3- تغييرات تغيير‌مکان درسطح نسبت به ناشي از تغيير‌مکان
افقي و گهوارهاي يک صفحه صلب مربعي به ضلع براي محيط‌هاي
متفاوت در حالت استاتيکي………………………………………………………………………68
شكل 4-4- قسمتهاي حقيقي و موهومي تغيير‌مکان درسطح نسبت
به فاصله افقي ناشي از نيروي توام افقي و گهوارهاي با شدت
واحد براي فرکانس بيبعد وارد بر سطح مربعي به ضلع……………….69
شكل 4-5- قسمتهاي حقيقي و موهومي تغيير‌مکان نسبت به عمق ناشي از
نيروي توام افقي و گهوارهاي با شدت واحد براي فرکانس بيبعد
وارد برسطح مربعي به ضلع…………………………………………………………………70
شكل 4-6- قسمتهاي حقيقي و موهومي تغيير‌مکان درسطح نسبت
به فاصله افقي ناشي از نيروي توام افقي و گهوارهاي با شدت
واحد براي فرکانس بيبعد وارد بر سطح مربعي به ضلع………………71
شکل 4-7- مقايسه بخش حقيقي و موهومي سختي قائم در محيط ايزوتروپ با
نتايج ارائه شده در مقاله Mita and Luco……………………………………………….72
شکل 4-8- مقايسه بخش حقيقي و موهومي سختي افقي در محيط ايزوتروپ با
نتايج ارائه شده در مقاله Mita and Luco……………………………………………….73
شکل 4-9- مقايسه بخش حقيقي و موهومي سختي ترکيبي افقي و گهوارهاي در
محيط ايزوتروپ با نتايج ارائه شده در مقاله Mita and Luco …………………..74
شکل 4-10- مقايسه بخش حقيقي و موهومي سختي گهوارهاي در محيط ايزوتروپ
با نتايج ارائه شده در مقاله Mita and Luco …………………………………………..75
شكل 4-11- بخش حقيقي و موهومي سختي قائم در محيط ايزوتروپ جانبي در
حالت مربعي…………………………………………………………………………………………..76
شكل 4-12- بخش حقيقي و موهومي سختي افقي در محيط ايزوتروپ جانبي در
حالت مربعي…………………………………………………………………………………………..77
شكل 4-13- بخش حقيقي و موهومي سختي ترکيبي افقي و گهوارهاي در محيط
ايزوتروپ جانبي درحالت مربعي………………………………………………………………..78
شكل 4-14- بخش حقيقي و موهومي سختي گهوارهاي در محيط ايزوتروپ جانبي
درحالت مربعي………………………………………………………………………………………….79
شكل 4-15- بخش حقيقي و موهومي سختي قائم در حالتي که يک ضلع دو برابر
ضلع ديگر باشد…………………………………………………………………………………………80
شكل 4-16- بخش حقيقي و موهومي سختي افقي در حالتي که يک ضلع دو برابر
ضلع ديگر باشد…………………………………………………………………………………………81
شكل 4-17- بخش حقيقي و موهومي سختي ترکيبي افقي و گهوارهاي در حالتي
که يک ضلع دو برابرضلع ديگر باشد…………………………………………………………….82
شكل 4-18- بخش حقيقي و موهومي سختي گهوارهاي در حالتي که يک ضلع دو
برابر ضلع ديگر باشد…………………………………………………………………………………..83
فصل اول
معادلات كلي حاکم بر انتشار امواج
در محيط‌هاي ايزوتروپ جانبي
و شرايط مرزي مسأله
1-1- مقدمه
به علت اثر گذاري سازه بر خاک و خاک بر سازه تحليل ديناميکي سازه‌هاي سنگين مستقر بر سطح زمين (شکل 1-1) نياز به در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه دارد، چه در غير اين صورت نتايج تحليل سازه با دقت کم همراه خواهد بود. در اين موارد همواره براي داشتن طرح مطمئن نياز به ‌ساده‌سازي‌هاي محافظه کارانه و در نتيجه غيراقتصادي مي‌باشد. يکي از راه‌هاي در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه، تحليل مجموعه سازه و خاک با استفاده از روش اجزا محدود و در نتيجه با المان‌بندي زمين زير ساختمان (شکل 1-2) مي‌باشد. تحليل سازه به‌همراه زمين مطابق اين روش اولاً بسيار پرهزينه بوده و ثانياً به‌علت عدم توانايي المان‌بندي زمين تا بي‌نهايت از دقت مناسب برخوردار نيست. به‌علاوه از آنجايي که سختي المان‌هاي خاک با ابعاد مختلف متفاوت مي‌باشد، آناليز انتشار امواج به ‌اين روش، امواج انعکاسي و انکساري غير واقعي در اختيار قرار مي‌دهد که به‌نوبه ‌خود دقت محاسبات را کاهش مي‌دهد. به‌همين علت با ارزش خواهد بود که توابع امپدانس شالوده‌ها به‌روش تحليلي به‌دست آيند و جايگزين خاک زير شالوده گردند (شکل 1-3). تعيين اين توابع امپدانس نياز به ‌تحليل محيط نيم بي‌نهايت تحت بارگذاري دلخواه در محل استقرار شالوده دارد. از طرفي رفتار خاک زير شالوده به‌علت پيش‌تحکيمي در طول زمان ايزوتروپ نبوده، بلکه بيشتر شبيه رفتار ايزوتروپ جانبي مي‌باشد. در نتيجه به‌منظور واقعي‌تر کردن تحليل فوق‌الذکر، در اين پايان‌نامه محيط ايزوتروپ جانبي به‌عنوان محيط مبنا در نظر گرفته شده و تحت اثر ارتعاش توام افقي و گهواره اي يك شالوده سطحي صلب مربع مستطيل در فضاي فرکانسي مورد تحليل قرار مي‌گيرد.
انتشار امواج7 در يک محيط ناشي از بارگذاري خارجي از جمله مباحثي بوده است که در قرن گذشته بسياري از محققان و مهندسان در زمينه رياضيات کاربردي و مکانيک مهندسي را به ‌‌خود جلب کرده است. انتشار امواج در يک محيط ارتجاعي به ‌معني انتقال تغيير شکل از يک نقطه به ‌نقطه ديگر مي‌باشد. بر اساس اصول مکانيک محيط‌هاي پيوسته، تغييرشکل‌ها مولد تنش‌ها مي‌باشند. بنابراين به‌همراه انتقال تغيير شکل‌ها، تنش‌ها نيز از يک نقطه به ‌نقطه ديگر منتقل مي‌شوند. به‌همين علت گاهي انتشار امواج در محيط ارتجاعي به‌نام انتشار امواج تنشي8 نيز ناميده مي‌شود. مقاله پايه‌اي در زمينه انتشار امواج مربوط به ‌لمب (Lamb) در سال 1904 مي‌باشد [1]. او در اين مقاله، انتشار امواج ناشي از يک بار هارمونيک وارد بر يک محيط ايزوتروپ و ارتجاعي نيمه بينهايت را در دو حالت دو بعدي و سه بعدي بررسي کرده و ميدان تغييرمکان آنها را به‌دست آورده است. در اين مقاله نيروي متمرکز بر حسب زمان به‌صورت تک هارمونيکي در نظر گرفته شده است به‌طوري که فرکانس تغييرات نيرو بر حسب زمان مي‌باشد. به‌علت تغييرات هارمونيکي محرک (نيروي)، پاسخ سيستم شامل ميدان‌هاي تغييرمکان، کرنش و تنش نيز به‌صورت هارمونيکي بر حسب زمان تغيير مي‌کنند1، به‌همين علت جمله از معادلات حرکت در غياب نيروهاي حجمي حذف شده و معادلات حرکت به‌صورت مستقل از زمان و وابسته به‌ نوشته مي‌شوند. در اين حالت مسأله انتشار امواج در فضاي فرکانسي حل مي‌شود. به‌علت حذف متغير زمان، معادلات حرکت به ‌دستگاه معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي نسبت به ‌مکان تبديل شده و در صورتي‌كه محيط ايزوتروپ باشد تجزيه هلمهولتز همواره اين دستگاه معادلات را به‌ معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي و مستقل از يکديگر تبديل مي‌کند. معادلات حاکم بر توابع هلمهولتز، معادلات موج بوده که وابسته به دستگاه مختصات ميتواند با استفاده از روش فوريه2 (جداسازي متغيرها) و تبديل هنکل3 و يا روش هاي ديگر حل شوند. لمب با استفاده از تبديل انتگرالي هنکل معادلات حرکت را در حالت سه بعدي حل کرده است [1].
شكل 1-1 شكل شماتيك ساختمان، شالوده و زمين زير آنها
شكل 1-2 شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمين زير آنها
شكل 1-3 شكل شماتيك مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و توابع امپدانس معادل خاك
يکي از دلايل استفاده از تبديلات در حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزيي کاهش متغيرهاي مستقل معادله وتبديل آن به ‌معادله ديفرانسيل معمولي مي‌باشد [17]. در حل مسائل مربوط به ‌محيط‌هاي نا‌متناهي، معمولاً شرايط مرزي به‌صورت توابع قطعه‌اي پيوسته9 وجود دارند و تبديلات انتگرالي10 اين شرايط را به‌صورت توابع پيوسته در فضاي تبديل يافته11 در مي‌آورند. اين موضوع يکي ديگر از دلايل استفاده از تبديلات انتگرالي مي‌باشد، چه در غير اين صورت شرايط مرزي به‌صورت مختلط و پيچيده در مي‌آيند .
بعد از لمب محققان زيادي در زمينه انتشار امواج در محيط‌هاي ايزوتروپ تحقيق کرده‌اند و تحقيقات گسترده‌اي را ارائه کرده‌اند که از آن جمله مي‌توان اشخاص زير را برشمرد:
[Achenbach (1973), Apsel (1979), Aki and Richards (1980), Apsel and Luco (1983), Micklowitz (1984), Pak (1987)]
انتشار امواج در محيط‌هاي ناهمسان12 در گذشته كمتر مورد توجه قرار گرفته است. در حال حاضر با توجه به ‌استفاده روز افزون از مواد ناهمسان نياز به ‌تحقيقات در زمينه انتشار امواج در اين محيط‌ها بيشتر احساس مي‌شود. براي مثال مواد کامپوزيت که در سال‌هاي اخير در زمينه علوم مهندسي کاربرد گسترده‌اي يافته‌اند داراي خاصيت نا‌همساني مي‌باشند. از سوي ديگر در زمين‌هايي که خاک تحت اثر نيروي ثقل رسوب کرده است و نهشته‌هاي طبيعي سربار شده روي هم تشکيل داده است، خاصيت ناهمـساني وجود دارد.
اما با توجه به ‌ملاحظات کاربردي در زمينه مهندسي محيط‌هاي ناهمسان معمولاً به‌صورت ايزوتروپ جانبي13 و يا ارتوتروپيك14 مدل‌سازي مي‌شوند. يکي از بررسي‌هاي اوليه در زمينه انتشار امواج در محيط‌هاي ايزوتروپ جانبي توسط Stoneley در سال 1949 انجام گرفته است [2]. او نشان داد که وجود مواد با خاصيت ايزوتروپ جانبي مي‌تواند منجر به ‌تفاوت‌هاي قابل توجـهي در زمينه انــتشار امواج نسبت به ‌مواد ايزوتروپ گـردد.
Synge در سال 1957، انتشار امواج ريلي15 در محيط‌هاي ايزوتروپ جانبي را بررسي کرده است و نتيجه گرفته که اين امواج فقط در صورتي در اين محيط‌ها منتشر مي‌شوند که محور ايزوتروپي محيط يا عمود بر سطح آزاد و يا موازي اين سطح باشد [3]. همچنين او بيان داشته است که امواج ريلي معمولي (در محيط‌هاي ايزوتروپ) موازي سطح آزاد محيط منتـشر مي‌شوند در حالي‌که امواج ريلي کلي (در محيـط‌هاي نا‌ايزوتروپ) مي‌توانند با شيب نسبت به ‌سطح آزاد منتشر شوند [3].
Rajapakse و Wang در سال1991 تغييرمکان‌ها و تنش‌هاي ناشي از ارتعاش هارمونيک يک جسم صلب در يک محيط ارتوتروپ دو بعدي را به‌دست آورده‌اند [4]. همچنين آنها تغييرمکان‌ها و تنش‌هاي ناشي از ارتعاش هارمونيک نيروي موثر بر پيرامون يک دايره مدفون در يک محيط ايزوتروپ جانبي را در حالت سه بعدي تعيين کرده‌اند [5]. در اين مقاله، آنها دستگاه معادلات حرکت را با استفاده از سه تابع پتانسيل به ‌دو معادله درگير16 و يک معادله مستقل تبديل کرده و بدون اثبات كامل بودن توابع پتانسيل اختيار شده معادلات به‌دست آمده را با استفاده از تبديلات انتگرالي حل کرده‌اند.
رحيميان و همكاران [16] مسأله لمب را براي محيط ايزوتروپ جانبي پيگيري كرده و معادلات حركت را با استفاده از توابع پتانسيل اسكندري قادي [7] به‌صورت مستقل در‌آوردند. معادلات به‌دست آمده از توابع پتانسيل را به ‌كمك سري فوريه در امتداد زاويه‌اي و تبديل هنكل در امتداد شعاعي در يك دستگاه مختصات استوانه‌اي حل كردند. اسكندري قادي و همكاران [8] نيز يك نيم‌فضاي ايزوتروپ جانبي متشكل از يك لايه فوقاني و يك محيط نيمه بي‌نهايت تحتاني با رفتار ايزوتروپ جانبي تحت اثر نيروهاي سطحي هارمونيكي را تجزيه وتحليل كرده و با استفاده از توابع پتانسيل ارائه شده توسط اسكندري قادي حل كردهاند.
تعيين توابع امپدانس مربوط به شالوده هاي مستقر بر محيط نيم بينهايت از مسائلي است كه مورد توجه مهندسين ساختمان و محققين رياضي كاربردي بوده است. اسكندري قادي و همكاران در سال هاي 2010، 2011 و 2012 توابع امپدانس قائم و خمشي شالوده دايرهاي صلب مستقر بر محيط ايزوتروپ جانبي به روش تحليلي و با حل معادلات انتگرالي دوگانه حل كردهاند. همچنين اسكندري قادي و همكاران توابع امپدانس افقي و خمشي را براي شالوده صلب مستطيلي مستقر بر محيط ايزوتروپ جانبي را با فرض شرايط مرزي مستقل و به كمك تركيب روش هاي تحليلي و عددي بهدست آوردهاند.
در اين پايان‌نامه در ابتدا معادلات حاكم شامل معادلات تعادل، روابط تنش-كرنش يا معادلات رفتاري و روابط كرنش-تغييرمكان در سيستم مختصات استوانه‌اي بيان شده و در ادامه معادلات حرکت بر حسب مولفه‌هاي بردار تغييرمکان به‌دست مي‌آيند. اين معادلات يك دسته معادلات ديفرانسيل درگير با مشتقات جزئي مي‌باشند كه براي مجزا‌سازي آنها از توابع پتانسيل ارائه شده توسط اسكندري قادي در سال 2005 استفاده مي‌شود. در ادامه به ‌كمك سري فوريه و تبديل هنکل توابع پتانسيل در فضاي تبديل يافته به‌دست مي‌آيند.
با استفاده از روابط تغييرمکان-توابع پتانسيل، تغييرمکان‌ها و تنش‌ها در فضاي تبديل‌يافته به‌دست مي‌آيند. استفاده از سري فوريه و قضيه تبديل معکوس، اين توابع را در فضاي واقعي به‌صورت انتگرالي در اختيار قرار مي‌دهد. اين نتايج براي نيروي متمرکز با امتداد دلخواه موثر بر محل دلخواه در سطح نوشته مي‌شوند تا توابع گرين تغييرمکان و تنش به‌دست آيند. با استفاده از توابع گرين به‌دست آمده و نيز استفاده از اصل جمع آثار قوا، تغييرمکان‌هاي هر نقطه ناشي از نيروي سطحي موثر بر هر سطح دلخواه از جمله سطح مستطيلي به‌دست مي‌آيند. مجموعه تغيير مكان هاي افقي صلب و قائم ناشي از دوران صفحه صلب هر نقطه از صفحه بر حسب تغيير مكان افقي مركز سطح صفحه، ، و دوران كل صفحه حول محور افقي گذرنده از مركز سطح، ، به عنوان شرايط مرزي نوشته ميشوند. تنش ها نيز در سطح نيم فضا و در خارج از محل صفحه مستطيلي به عنوان شرايط مرزي معلوم ميباشند.شرايط در دوردست نيز شرايط مرزي باقيمانده اين مساله ميباشند. با توجه به اينكه از تبديل انتگرالي براي حل معادله ديفرانسيل حاكم بر توابع پتانسيل استفاده شده است، شرايط مرزي در سطح نيم فضا به صورت يك جفت معادله انتگرالي دوگانه كه درگير ميباشند در ميآيند. از آنجايي كه هندسه مربوط به شالوده پيچيده بوده و با يك سطح مختصات تعريف نميشود، حل تحليلي معادلات انتگرالي دوگانه بسيار پيچيده ميباشد. لذا با بكارگيري روش اجزا محدود در محدوده تماس شالوده و نيم فضا، مجموعه معادلات انتگرالي فوق به صورت دستگاه معادلات جبري نوشته شده و توابع مجهول شامل تنش تماسي افقي و قائم در نقاط گره اي بهدست ميآيند. از آنجايي كه شالوده صلب ميباشد، اين تنش هاي تماسي در لبه ها و گوشههاي شالوده رفتار تكين داشته و لذا با استفاده از توابع شكلي كه قابليت مدلسازي رفتار تكين را دارند، تنشهاي تماسي طوري بهدست ميآيند كه اين رفتار را مدلسازي نمايند. پس از تعيين تنش هاي تماسي ميتوان نيروي افقي كل و نيز گشتاور لازم براي تغيير مكان هاي فوق الذكر را تعيين كرد. به اين ترتيب بردار تغيير مكان كل صفحه و نيروهاي كل مربوطه در اختيار ميباشد. ماتريس تبديل بردار تغيير مكان به بردار نيروهاي كل (نيروي افقي و گشتاور خمشي) را ماتريس امپدانس ميناميم. با برقراري ارتباط دو بردار فوق، اين ماتريس تعيين ميشود. اين ماتريس شامل 4 درايه ، ، و است كه به ترتيب تابع امپدانس افقي، تابع امپدانس خمشي يا گهوارهاي و تابع امپدانس توام افقي- گهوارهاي نام دارند. نشان داده مي‌شود كه نتايج به‌دست آمده حاصل از اين روش براي محيط ايزوتروپ بر نتايج قبلي ارائه شده توسط Luco و Mita و گوييزينا منطبق است [10]. همچنين در اين پايان‌نامه، نتايج براي حالت استاتيكي با حدگيري از نتايج اصلي، به‌دست مي‌آيند. در صورتي‌كه و رفتار محيط به‌سمت ايزوتروپ ميل كند، نتايج استاتيكي براي محيط ايزوتروپ به‌دست مي‌آيند. براي نشان دادن اثر ميزان ناهمساني نتايج عددي براي محيط‌هاي ايزوتروپ جانبي با ناهمساني متفاوت ارائه شده و اختلاف نتايج مورد بحث قرار مي‌گيرد.
1-2- بيان مسأله و معادلات حاکم
محيط نيمه متناهي ارتجاعي با رفتار ايزوتروپ جانبي را در دستگاه مختصات استوانه‌اي چنان در نظر مي‌گيريم که محور عمود بر صفحه ايزوتروپي باشد. اين محيط تحت اثر نيروي هارمونيكي دلخواه موثر بر صفحه در z=0 قرار مي گيرد (شكل 1-5). اگر ، و مولفه هاي نيروي به ترتيب در امتدادهاي ، و باشند، شرايط مرزي مساله در سطح z=0 به صورت زير در ميآيند:
(1-1)(1-2)
شرايط منظم بودن و كاهندگي در دوردست به صورت زير در ميآيد:
(1-3)
معادلات حركت بر حسب تنش‌ها در حالت متقارن محوري به‌صورت زير نوشته مي‌شوند [9]:
(1-4)
که در آن با مولفه هاي تانسور تنش 17و ، و مولفه‌هاي بردار تغييرمکان به‌ترتيب در امتدادهاي، و مي‌باشند. جرم مخصوص محيط و معرف زمان است.
مجموعه معادلات (1-4) را معادلات مسائل مقدار مرزي مينامند که بايد حل شوند. معادلات حرکت به شکل روابط تنش- کرنش و کرنش- تغيير مکان برحسب تغيير مکان نوشته مي شوند. بدين منظور رابطه کرنش-تنش در مصالح ايزوتروپ جانبي به‌صورت زير است [9]:
(1-5)
که در آن با ثابت‌هاي ارتجاعي بوده و داريم:
(1-6)
اگر معرف مدول يانگ در صفحه ايزوتروپي، مدول يانگ عمود بر صفحه ايزوتروپي، ضريب پواسون در صفحه ايزوتروپي (جمع شدگي در صفحه ايزوتروپي به‌علت کشش در همين صفحه)، ضريب پواسون عمود بر صفحه ايزوتروپي (جمع شدگي عمود بر صفحه ايزوتروپي به‌علت کشش در اين صفحه)، مدول برشي در صفحه ايزوتروپي و مدول برشي در صفحات عمود بر صفحه ايزوتروپي باشد، در اين صورت خواهيم داشت:
(1-7)با استفاده از رابطه (1-5)، رابطه تنش-کرنش به‌صورت زير درمي‌آيد:
(1-8) رابطه (1-8) را مي‌توان به‌صورت زير نوشت:
(1-9)
ضرايب با بر حسب به‌صورت زير هستند:
(1-10) که در آن:
(1-11)از ترکيب روابط (1-7) و (1-10) مي‌توان نوشت:
(1-12)
همچنين رابطه کرنش-تغييرمکان در دستگاه مختصات استوانه‌اي به‌شرح زير است [12]:
(1-13)با قرار دادن رابطه (1-13) در رابطه (1-8)، تنش‌ها بر حسب تغييرمکان‌ها به‌دست مي‌آيند. با قرار دادن روابط تنش-تغييرمکان در معادلات (1-4)، معادلات حرکت بر حسب مولفه‌هاي بردار تغييرمکان به‌صورت زير به‌دست مي‌آيند:

(1-14)
اما با فرض هارمونيـک بودن حرکت مي‌توان مولـفه‌هاي بردار تغييرمكان را به‌شرح زير نوشت:
(1-15)
در نتيجه رابطه (1-14) به‌صورت زير بازنويسي مي‌شود:
(1-16)1-3- توابع پتانسيل18
معادلات حرکت (1- 17) يک دستگاه معادلات ديفرانسيل درگير با مشتقات جزيي مي‌باشند. به‌منظور مجزا‌سازي اين معادلات از دو تابع پتانسيل و استــفاده مي‌شود. مولفه‌هاي بردار تغييرمکان بر حسب توابع پتانسيل و در دستگاه مختصات استوانه‌اي و در حالت ديناميکي به‌صورت زير نوشته مي‌شوند [7]:
(1-17)
که در آن:
(1-18)
اما با فرض هارمونيک بودن حرکت، مي‌توان مولفه‌هاي بردار تغييرمکان را به‌شرح (1-15) و توابع پتانسيل را به‌شرح زير نوشت:
(1-19) به‌طوري که فرکانس زاويه‌اي19 مي‌باشد. با جايگزيني روابط (1-15) و (1-19) در (1-17) مي‌توان نوشت:
(1-20)با قرار دادن روابط (1-20) و (1-19) در معادلات حرکت (1-16)، دو معادله ديفرانسيل کاملاً مستقل از هم حاکم بر توابع پتانسيل و به‌صورت زير به‌دست مي‌آيند:
(1-21)(1-22)
که در آن :
(1-23)
(1-24)
پارامترهاي و ريشه‌هاي معادله زير هستند:
(1-25)
با توجه به مثبت بودن انرژي کرنشي، و مي‌توانند اعداد مختلط باشند اما نمي‌توانند اعداد موهومي خالص باشند [9].
به‌منظور حل معادلات (1-21) و (1-22)، مي‌توان سري فوريه توابع و را نسبت به متغير‌ نوشت. سري فوريه مختلط اين توابع به‌صورت زير هستند [17]:
(1-26)(1-27)که در آن و ضرايب ام سري فوريه توابع و هستند [17]:
(1-28)با قرار دادن روابط (1-26) و (1-27) به‌ترتيب در معادلات (1-21) و (1-22)، اين معادلات به‌صورت زير نوشته مي‌شوند:
(1-29)(1-30)
که در آن :
(1-31)
با توجه به ‌هندسه و شرايط مرزي مسأله بسيار مناسب مي‌باشد که از تبديل هنکل مرتبه‌ام نسبت به ‌امتداد شعاعي به‌شرح زير استفاده شود [17]:
(1-32)
و تبديل معکوس هنکل آن عبارت است از [17]:
(1-33)
که در آن تابع بسل نوع اول از مرتبه‌ام مي‌باشد. با قرار دادن رابطه (1-32) در معادلات (1-29) و (1-30) اين معادلات به‌صورت زير در مي‌آيند:
(1-34)(1-35)
که در آن :
(1-36) معادله (1-34) يک معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه ‌چهارم با ضرايب ثابت بوده و جواب آن به‌شکل زير مي‌باشد:
(1-37)
با قرار دادن (1-37) در (1-34) مي‌توان به‌دست آورد:
(1-38)
که در آن:
(1-39)
بنابراين همانگونه که در رابطه (1-37) نشان داده شده، به‌صورت زير در مي‌آيد:
(1-40)
که در آن [11; 8]:
(1-41)
ريشه‌هاي معادله (1-38) هستند. در رابطه (1-41) از تعاريف زير استفاده شده است:
(1-42)
به‌طور مشابه ‌مي‌توان نشان داد که جواب معادله (1-35) عبارت است از:
(1-43)
که در آن:
(1-44)
، ، ، ، و در معادلات (1-40) و (1-43) توابعي مجهول مي‌باشند که با نوشتن شرايط مرزي به‌دست مي‌آيند. توابع ، و توابعي چند مقداره 20 هستند. هر تابع چند‌ مقداره در واقع مجموعه‌اي از توابع تک‌مقـداري2 است. هر يک از اعضاي اين مجموعه يک بريدگي شاخه‌اي3 از تابع چند مقداره ناميده مي‌شود. نقطه تکين4 مشـترک بين همه بريدگي‌هاي شاخه‌اي براي تابع چند مقداره يک نقـطه شاخـه‌اي5 ناميده مي‌شود. نقاط شاخه‌اي متناظر با توابع در اينجا توسط معادله زير به‌دست مي‌آيند:
(1-45)
با قراردادن روابط (1-41) و (1-44) دررابطه (1-45) نقاط شاخه‌اي متناظر با توابع به‌صورت زير به‌دست مي‌آيند [11; 8] :
(1-46)
به‌منظور تک‌مقداري کردن توابع ، بريدگي‌هاي شاخه‌اي به ‌گونه‌اي انتخاب مي‌شوندکه باشد (شکل1-4) [11; 8]. توجه شود که يک متغير حقيقي مثبت است، لذا نقاط شاخه‌اي روي محور حقيقي بوده و نقاط شاخه‌اي نشان داده شده روي قسمت منفي محور در اينجا قابل قبول نيستند.
شکل 1- 4- بريدگي‌هاي شاخه براي ?1،?2 و?3

با انتخاب بريدگي‌هاي شاخه‌اي به‌صورت فوق و به‌منظور ارضاي شرط تشعشع21، در رابطه (1- 40) ضرائب و و در رابطه (1- 43) ضريب برابر صفر هستند.
1-4- جواب کلي معادلات حرکت
همانطور که قبلا ذکر شده است مطابق شکل (1-5) فرض مي‌شود که نيروي هارمونيک متمرکز با امتداد دلخواه به‌‌شدت موثر بر سطح در سطح اعمال مي‌گردد. بر اين اساس شرايط مرزي در سطح با استفاده از رابطه کوشي به‌صورت زير مي‌باشد ( مؤلفه‌هاي بردار نيرو، بردار نرمال بر سطح و مؤلفه‌هاي تانسور تنش در سطح مورد نظر هستند):

(1-47)(1-48)

شکل 1- 5- محيط نيمه بي‌نهايت با رفتار ايزوتروپ جانبي تحت اثر نيروي با امتداد دلخواه موثر بر سطح موْثر بر سطح

که در آن و و مولفه‌هاي بردار نيروي به‌ترتيب در امتدادهاي و مي‌باشند. همانطور که قبلاً گفته شد با فرض هارمونيک بودن حرکت مي‌توان نوشت:
(1-49)
بر اين اساس شرايط مرزي را به‌صورت زير دوباره‌نويسي مي‌کنيم:
(1-50)(1-51)
تابع بارگذاري و مولفه‌هاي تانسور تنش را مي‌توان بر حسب سري فوريه نوشت که دراين صورت شرايط مرزي (1-50) و (1-51) بر حسب مولفه‌هاي تابع بارگذاري در فضاي فوريه به‌صورت زير در مي‌آيد:
(1-52)(1-53)
که در آن مولفه‌هاي تانسور تنش در فضاي فوريه و و و مولفه‌هاي بردار بارگذاري در فضاي فوريه مي‌باشند.
حال به‌منظور به‌دست آوردن توابع مجهول ، و در معادلات (1-40) و (1-43) بايد تبديل هنکل ضرايب سري فوريه تنش‌ها را به‌دست آوريم. براي اين منظور ابتدا بايد تبديل هنکل ضرايب سري فوريه تغييرمکان‌ها را به‌دست آورد. به‌منظور برقراري ارتباط اين ضرايب با تبديل هنکل ضريب ام توابع و ابتدا طرفين رابطه (1- 17) را بسط فوريه مي‌دهيم که منجر به‌رابطه زير مي‌شود:
(1-54)
که در آن ، و مولفه‌هاي بردار تغييرمکان در فضاي فوريه مي‌باشند. از ترکيب معادلات بالا مي‌توان نوشت:
(1-55)
اما با توجه به‌خواص تبديل هنکل مي‌توان نوشت:
(1-56)(1-57)
ترکيب روابط (1-54) تا (1-57) منجر به‌روابط زير مي‌شود:
(1-58)
که در آن و به‌ترتيب تبديل هنکل مرتبه‌ و مرتبه‌ تابع و و به‌ترتيب تبديل هنکل مرتبه‌ و تابع و بالاخره ، و به‌ترتيب تبديل هنکل مرتبه‌ توابع ، و مي‌باشند.
حال با توجه به‌روابط کرنش-تغييرمکان (1-13) و روابط تنش-کرنش (1-9) مي‌توان مولفه‌هاي تانسور تنش را بر حسب توابع و به‌شرح زير نوشت:

(1-59)
از ترکيب روابط (1-52) و (1-59) در سطح مي‌توان به‌دست آورد:
(1-60)حال اگر توابع و و مشتقات آنها در در رابطهْ (1-59) جايگزين شده و نتايج در رابطهْ (1-60) قرار داده شوند، مي‌‌توان نشان داد:
(1-61)که در آن:
(1-62)
معادلات (1-61) يک سيستم معادلات جبري خطي براي توابع مجهول ، و مي‌باشد. اگر اين معادلات براي ، و بر حسب ضرايب سري فوريه تابع بارگذاري در فضاي تبديل يافته هنکل حل شوند، آنگاه اين توابع به‌شرح زير به‌دست مي‌‌آيند:
(1-63)

جايگذاري توابع ، و در معادلات (1-58) منجر به ‌روابط زير مي‌‌شود:
(1-64)
که در آن:
(1-65)در اينجا:
(1-66)
اگر از روابط (1-64) تبديل معکوس هنکل بگيريم در اين‌صورت ضرايب ام سري فوريه مولفه‌هاي تغييرمکان به‌شرح زير به‌دست مي‌آيد:
(1-67)
که در آن ضرايب ، و بر اساس روابط (1-63) مي‌باشد. با جايگذاري ضرايب ام سري فوريه تغييرمکان در بسط فوريه مربوطه دامنه مولفه‌هاي تغييرمکان به‌شرح زير به‌دست مي‌آيد:
(1-68)

فصل دوم
حالات خاص
و
توابع گرين در حالت کلي

2-1- مقدمه
در اين فصل نتايج به‌دست آمده در فصل گذشته ابتدا براي حالتي‌که نيروي سطحي، نيروي با امتداد دلخواه در مبدا است، ساده شده و جواب مسأله براي حالت ايزوتروپ به‌دست ميآيد. نشان داده مي‌شود که نتايج براي حالت ايزوتروپ منطبق بر نتايج موجود در مقالات مي‌باشند. نتايج براي حالت استاتيکي نيز ساده مي‌شود چرا که در فهم مسأله بيشتر کمک مي‌کند. در نهايت با انتقال دستگاه مختصات به يک نقطه دلخواه، تغييرمکان ها و تنش ها در هر نقطه به‌دست مي‌آيند که به‌عنوان توابع گرين مورد استفاده قرار مي‌گيرند.

2-2- نيروي متمرکز در جهت دلخواه
تابع بارگذاري براي بار متمرکز موثر در نقطه در جهت دلخواه به‌صورت زير تعريف مي‌شود:
(2-1)
که در آن تابع دلتاي ديراک22 بوده و مجموعه تک عضوي مي‌باشد. در اين صورت با جايگذاري (2-1) در (1-63) مي‌توان نشان داد:
(2-2)
با ترکيب روابط (2-2)، (1-63)، (1-65)، (1-67) و(1-68) مي‌توان مولفه‌هاي بردار تغييرمکان را به‌صورت زير بيان کرد:
(2-3)
در اين صورت مولفه‌هاي متناظر بردار تغييرمکان در سطح به‌شرح زير نوشته ميشوند:
(2-4)
2-3- نتايج براي محيط ايزوتروپ
در قسمت قبل مولفه‌هاي بردار تغييرمکان براي محيط با رفتار ايزوتروپ جانبي تحت اثر نيروي متمرکز هارمونيکي به‌دست آمده‌اند. در اين قسمت با استفاده از نتايج به‌دست آمده براي محيط ايزوتروپ جانبي، اين توابع در حالت استاتيکي به‌صورت تحليلي براي محيط ايزوتروپ به‌دست خواهند آمد و با نتايج موجود در مقالات مقايسه مي‌شوند. انطباق نتايج اين پايان‌نامه بر نتايج موجود خود دليل بر صحت نتايج به‌دست آمده در اين پايان‌نامه مي‌باشد. براي مصالح ايزوتروپ ضرايب ارتجاعي تا بر حسب ضرايب لامه23 و عبارتند از:
(2-5)
بنابراين براي مصالح ايزوتروپ مي‌توان به‌دست آورد:
(2-6)(2-7)
با قرار دادن روابط (2-5)، (2-6) و (2-7) در روابط (1-38) و (1-41)، توابع براي مصالح ايزوتروپ به‌شرح زير در مي‌آيند:
(2-8)
که در آن:
(2-9)
اعداد موج‌هاي طولي و عرضي بوده و
(2-10)
و به‌ترتيب سرعت امواج محوري يا طولي24 و برشي25 يا عرضي مي‌باشند. با استفاده از رابطه (1-59) مي‌توان به‌دست آورد:
(2-11)
با قرار دادن رابطه (2-11) در (1-63) تابع به‌شرح زير نوشته مي‌شود:
(2-12)که در آن:
(2-13)با قرار دادن روابط فوق براي مصالح ايزوتروپ در رابطه (1-65) مي‌توان نشان داد:
(2-14)
اين نتايج منطبق بر نتايج پک [10] ميباشد.

2-4- نتايج براي حالت استاتيکي
براي ساده‌سازي نتايج در حالت استاتيکي، کافي است که فرکانس تحريک، يعني به سمت صفر ميل کند. اگر در روابط (1-42)، فرکانس را به‌سمت صفر ميل دهيم، خواهيم داشت:
(2-14)
در نتيجه روابط (1-41) و (1-44) را به‌صورت زير خواهيم داشت:
(2-15)
با قرار دادن روابط فوق در (1-62) و جايگذاري نتايج آن در (1-65)، ، ، و به‌دست مي‌‌آيند. اما با دقت در معادله ديفرانسيل (1-29) مشاهده مي‌شود که در حالت استاتيکي جواب اين معادله در حالت‌هاي و متفاوت هستند. لذا بايد به اين مهم دقت کرده و اين دو حالت را جداگانه بررسي نمود.
پارامترهاي ، ، و در حالتي‌که باشد، به شرح زير به‌دست مي‌آيند:
(2-16)که در اينجا:
(2-17)
حال اگر باشد، روابط فوق به‌صورت زير به‌دست مي‌‌آيند:
(2-18)
(2-18)
که در اينجا:
(2-19)
با مقايسه (2-16) و (2-18) مشاهده مي‌شود که توابع جواب در حالت بر حسب به‌صورت نمايي تغيير مي‌کنند، در حالي‌که در حالت علاوه بر تغييرات به صورت نمايي به‌صورت نيز تغيير مي‌کنند.
با استفاده از قضيه تبديل معکوس هنکل توابع تغييرمکان در صورتيکه به صورت زير به دست مي‌آيند:
(2-20)
و در صورتيکه باشند روابط به صورت زير خواهند بود:
(2-21)که در آن و ريشه هاي معادله زير هستند:
(2-22)
و همچنين:
(2-23)
2-5-تبديل دستگاه مختصات قطبي به دستگاه ‌مختصات دکارتي و انتقال محورها
کليه نتايج ارائه شده تاکنون در دستگاه مختصات استوانه‌اي بوده و به‌منظور استفاده از اين جواب‌ها به‌عنوان توابع گرين معادلات حاکم، راحت‌تر آن است که ابتدا اين جواب‌ها به‌دستگاه مختصات دکارتي آورده شوند و سپس با انتقال دستگاه مختصات به نقطه دلخواه، نتايج براي نيروي متمرکز در محل دلخواه استخراج شوند. با توجه به ‌شکل (2-1) روابط تبديل براي مختصات و تغييرمکان‌ها از دستگاه مختصات قطبي به دستگاه ‌مختصات دکارتي به‌صورت زير مي‌‌باشند:

شکل 2-1- تبديل مختصات از دستگاه استوانه‌ايبه دستگاه مختصات دکارتي و انتقال محورها
(2-24)
(2-25)
به‌همين ترتيب با استفاده از روابط تبديل مختصات براي تانسورها، تبديل تنش‌ها از يک دستگاه مختصات قائم به دستگاه مختصات قائم ديگر به‌صورت زير مي‌باشند:

(2-26)

(2-26)
با انتقال مبدا دستگاه مختصات دکارتي به‌نقطه با مختصات نسبت به‌دستگاه جديد، ارتباط بين دستگاه جديد و دستگاه قديم به‌صورت زير در مي‌آيند:
(2-27)
و از آن تغييرمکان‌ها و تنش‌ها در دستگاه مختصات جديد به‌دست مي‌آيند. اين توابع را با نشان مي‌دهيم. اين روابط براي تغيير مکان ها در حالت استاتيکي و در صورتيکه به صورت زير به دست مي‌آيند:
(2-28)
(2-29)
(2-30)
و همچنين روابط تغيير مکان در حالت استاتيکي و در صورتيکه باشد به صورت زير به دست مي‌آيند:
(2-31)
(2-32)
(2-33)
اين روابط در حالت کلي به صورت زير در ميآيند:
(2-34)
(2-35)
(2-36)
با توجه به ‌اين نکته که اين توابع مقادير تغييرمکان‌ها و تنش‌ها، ناشي از نيروي متمرکز مؤثر بر نقطه با مختصات مي‌باشند، با تعريفA به‌عنوان سطح محل اثر نيروي سطحي، تغييرمکان‌ها و تنش‌هاي کل در هر نقطه با انتگرال‌گيري سطحي رويA به‌دست مي‌آيند. در صورتي‌کهA معرف سطح مستطيلي به ‌ابعاد و با تعريف باشد، آنگاه:
(2-37)
معرف تغييرمکان‌ها و تنش‌ها در هر نقطة مي‌باشند.

فصل سوم
تابع امپدانس شالوده صلب مستطيلي
با استفاده از توابع گرين
3-1- مقدمه
در فصل دوم توابع گرين تغييرمکان براي نيروي متمرکز دلخواه خارج از مبدأ در دستگاه مختصات دکارتي به‌صورت انتگرال‌هاي يک بعدي ارائه شدهاند. در اين فصل با استقاده از اصل جمع آثار قوا (اصل برهم نهي) نتايج براي نيروي گسترده افقي و گهواره اي يکنواخت موثر بر يک سطح مستطيل به‌دست مي‌آيند. در ادامه با بکارگيري الماني کارا در مسائل با رفتار سينگولار موسوم به المان گرادياني پويا (Adaptive Gradient element ) و اعمال شرايط مرزي تغييرمکاني، نتايج براي پي صلب مستطيلي مستقر بر نيم‌فضاي ايزوتروپ جانبي که تحت تغييرمکان همزمان افقي و گهواره اي قرار گرفته است، به‌دست آمده و الگوريتم برنامه‌نويسي مرتبط با آن آورده مي‌شود.

3-2- تحليل شالوده صلب مستطيلي تحت تغييرمکان همزمان افقي و گهوارهاي
در



قیمت: تومان


پاسخ دهید