منبع پایان نامه ارشد درباره دینامیکی، نقطه تقاطع

دانلود پایان نامه

[24]

شکل 3 -4 : تحلیل گرافیکی تابع F(x)=√x [24]

در شکل 3 – 5 نمودار تحلیل گرافیکی C(x)=cosx رسم شده است. توجه کنید که هر چرخه ای در این مورد دوباره به نقطه تقاطع نمودار C با قطر تمایل دارد. همچنانکه ما به طور عددی قبلا مشاهده کردیم این نقطه به طور تقریبی با 73908 /0( به رادیان) داده می شود [24].

شکل 3 – 5 : تحلیل گرافیکی تابع C(x)=osx [24]
همان طور که قبلا دیدیم نقاط تناوبی برای F ، F^n (x_0)=x_0 را براورده می کنند. این معنی می دهد که سگمنت های خطی53 به وجود آمده با تحلیل گرافیکی عاقبت به (x_0 , x_0 ) روی قطر برمی گردند که به یک مجرای54 بسته در تحلیل گرافیکی منجر می شود. شکل 3 – 6 الف نشان می دهد که F(x)= x^2-1.1 یک چرخه دوگانه می پذیرد همچنان که توسط مربع تولید شده توسط تحلیل گرافیکی تشریح داده شده است. شکل 3 – 6 ب نشان می دهد که چرخه های زیادی به این چرخه 55تمایل دارند. این چرخه های دوگانه به طور صریح می توانند محاسبه شوند.
شکل 3 – 6 الف : تحلیل گرافیکی تابع F(x)= x^2-1.1 [24]

شکل 3 – 6 ب : تحلیل گرافیکی تابع F(x)= x^2-1.1 [24]

ما نمی توانیم رفتار همه چرخه ها را به وسیله تحلیل گرافیکی متوجه بشویم. به عنوان مثال در شکل (3 – 7 ) تحلیل گرافیکی برای تابع F(x)=4x(1-x) به کار برده شده است. توجه کنید چه طور چرخه x_0 پیچیده شده است .

شکل 3- 7 : تحلیل گرافیکی تابع F(x)=4x(1-x) [24]

تحلیل گرافیکی بعضی وقت ها به ما اجازه می دهد تا رفتار همه چرخه های سیستم دینامیکی را توصیف کنیم. به عنوان مثال تابع F(x)= x^3 را در نظر بگیرید. نمودار F نشان می دهد که سه نقطه ثابت در 0، 1 و 1- وجود دارند . این ها راه حل هایی از تابع x^3=x یا x^3-x=0 هستند. تحلیل گرافیکی این تابع به این نتایج می رسد: اگر |x_0 |<1 پس چرخه x_0 به صفر گرایش دارد همان طور که در شکل 3 – 8 - الف رسم شده است. به عبارت دیگر اگر |x_0 |>1 پس چرخه x_0 به ±∞ تمایل دارد همان طور در شکل 3 – 8 – ب نشان داده شده است [24].

(ب) (الف )
شکل 3 – 8 : تحلیل چرخه ای تابع F(x)= x^3 برای (الف): |x|<1 و (ب): |x|>1 [24]

باید تایید کنیم که تحلیل گرافیکی به هیچ وجه یک ابزار خیلی دقیق نیست در بسیاری از موارد نمی توانیم از تحلیل گرافیکی به عنوان یک دلیل که پدیده های دینامیکی مشخصی اتفاق می افتداستفاده کنیم.

3 – 6 نمودار فازی
یک روش مختصر برای شرح دادن همه چرخه ها ی سیستم های دینامیکی نمودار فازی سیستم است. در موارد یک بعدی نمودار فازی به ما اطلاعات بیشتری نسبت به تحلیل گرافیکی نمی دهد. در دو بعد موقعی که تحلیل گرافیکی ممکن نیست ما به نمودار فازی اعتماد می کنیم تا رفتار چرخه را توصیف کنیم.
در نمودار فازی نقاط نقاط ثابت را با نقطه هایی جامد56 و دینامیکی در طول یک صف نشان می دهیم. به عنوان مثال همچنان که ما در بالا دیدیم برای F(x)= x^3 نقاط ثابت در 0و ±1 اتفاق می افتند. اگر |x_0 |<1 ، پس F^n (x_0)→0 درحالی که اگر |x_0 |>1 ، F^n (x_0)→±∞. نمودار فازی برای تابع F(x) در زیر نشان داده شده است.

3 – 9 : نمودار فازی تابع F(x)= x^3 [24]

به عنوان مثال دیگر F(x)=x^2 دو نقطه ثابت در 0و 1 و یک نقطه سرانجام نقطه ثابت در 1- دارد. توجه کنید اگر x_0<0 پس F(x_0)>0 و همه نقاط بعدی چرخه x_0 مثبت هستند. نمودار فازی تابع F(x)=x^2 در شکل 3 – 10 نشان داده شده است [24].

شکل 3 – 10 : نمودار فازی تابع F(x)=x^2 [24]

3 – 7 محاسبات نقاط ثابت
تابع خطی A(x)=∝x با 0α<1 و B(x)=βx با β>1 را در نظر بگیرید. هر تابع یک نقطه ثابت در 0 دارد اما این نقطه ثابت برای A جذب کننده57 و B دفع کننده58 است. تحلیل گرافیکی این تابع به طور واضح در شکل 3 – 11 نشان داده است [24].

(ب) (الف)
شکل 3 – 11 : تحلیل گرافیکی ( الف ) تابع A(x)=∝x و 0α<1 ( ب) تابع B(x)=βx و β>1 [24].

اکنون همین تابع ها را این بار با -1α<0 و β< -1 در نظر بگیرید. دوباره تحلیل گرافیکی نشان می دهد ( شکل 3 - 12 ) که A یک نقطه ثابت جذب کننده در صفر دارد و B یک نقطه ثابت دفع کننده در صفر دارد. ( ب ) (الف)
شکل 3 – 12 : تحلیل گرافیکی تابع (الف ) A(x)=∝x و -1<α<0 ( ب) B(x)=βx و β< -1 [24] به طور واضح شیب خط مستقیم یک نقش قاطع در تعیین آیا تابع خطی یک نقطه ثابت جذب کننده یا دفع کننده دارد بازی می کند.
محاسبات به ما اجازه خواهد داد تا بین نقاط ثابت جذب کننده و دفع کننده برای تابع های غیر خطی فرق قائل شویم ، مشتق به ما شیب خط مماس به نمودار تابع a را می دهد. به ویژه نزدیک نقطه ثابت x_0 اگر ما نمودار تابع را به دقت بررسی کنیم مقدار اولین مشتق F^’ (x_0) به ما می گویید چه طور نمودار قطر را در این نقطه قطع می کند که به یک تعریف مهم منجر می شود:
تعریف : فرض کنید x_0 یک نقطه ثابت برای F است. اگر |F^’ (x_0)|<1 ، x_0 یک نقطه ثابت جذب کننده است. اگر |F^' (x_0)|>1 نقطه x_0 نقطه ثابت دفع کننده است. سرانجام اگر |F^’ (x_0)|=1 نقطه ثابت خنثی59 یا بی اثر60 نامیده می شود[24].
هندسه معقول برای این روش شناسی به وسیله تحلیل گرافیکی به کار رفته است . گراف شکل های 3 – 13 – الف و ب را در نظر بگیرید. هر دوی این تابع ها نقطه ثابت در x_0 دارند. شیب خط مماس در x_0 ، F^’ (x_0) در هر دو مورد مقدارش کمتر از 1 است: |F^’ (x_0)|<1. شکل 3 – 13 : در هر دو مورد x_0 نقطه ثابت جذب کننده است [24]
شکل 3 – 14 : نمودار فازی ممکن نزدیک یک نقطه ثابت جذب کننده (الف): 01 تحلیل گرافیکی نشان می دهد که نزدیک نقطه چرخه هایی دارد که دورتر می شوند یعنی دفع کننده هستند. دوباره اگر F^’ (x_0 )-1 چرخه ها همان طور که از یک سمت به سمت دیگر x_0 دور می شوند نوسان می کنند که در شکل 3 – 15 نشان داده شده است. همان طور که قبلا گفته شد نمودار فازی ( شکل 3 – 16 ) نشان می دهد که چه طور نزدیک چرخه ها در این مورد دفع شده اند [24].

شکل 3 – 15 : در هر دو مورد x_0 نقطه ثابت دفع کننده است [24].

شکل 3 – 16 : نمودار فازی اطراف یک نقطه ثابت دفع کننده [24] .

شکل 3 – 17 : تابع F(x)=2x(1-x) یک نقطه ثابت جذب کننده در 1⁄2 و یک نقطه ثابت دفع کننده در صفر دارد [24]
به عنوان یک مثال، تابع F(x)=2x(1-x)=2x-2x^2 را در نظر بگیرید. به طور واضح 0 و 1⁄2 نقاط ثابت برای F هستند. که داریم F^’ (x)=2-4x بنابراین F^’ (0)=2 و F^’ (1⁄2)=0 . بنابراین صفر نقطه ثابت دفع کننده است در حالی که 1⁄2 جذب کننده است.تحلیل گرافیکی این را تایید می کند، همچنان که در شکل 3 – 17 نشان داده شده است.
توجه کنید که اگر F^’ (x_0 )=0 ممکن است چند نوع متفاوت از نمودار فازی داشته باشیم همان طور که در شکل 3 – 18 نشان داده شده است.در همه موارد نقطه ثابت جذب کننده است [24].

شکل 3 – 18 : نموار فازی نزدیک 0 برای (الف) تابع F(x)=x^2 ، (ب) تابع F(x)=x^3 ، (ج) تابع F(x)=-x^3 . در همه موارد F(0)=0 و F^’ (0)=0 [24]

3 – 8 نقاط دوره ای
مثل نقاط ثابت نقاط دوره ای ممکن است همچنین به عنوان جذب کننده، دفع کننده یا خنثی طبقه بندی شوند. محاسبات اینجا پیچیده تر هستند.
اجازه دهید باز با یک مثال شروع کنیم، تابع F(x)=x^2-1 یک چرخه جذب کننده از دوره دو با چرخه 0, -1, 0, -1, … دارد . تحلیل گرافیکی در شکل 3 – 19 نشان می دهد که این چرخه باید جذب کننده باشد[24].

شکل 3 – 19 : یک چرخه جذب کننده با تناوب دو برای F(x)=x^2-1 [24]
برای اینکه ببینیم چرا اینجوری است نمودار تابع F^2 (x)=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2 را بررسی می کنیم. همچنان که در شکل 3 – 20 نشان داده شده است. توجه کنید که F^2 چهار نقطه ثابت دارد : در دو نقطه ثابت F و در دو نقطه تناوبی 0و 1-. توجه کنید که مشتق F^2 یعنی 4x^3-4x در هر دو نقطه 0 و 1- کاهش می یابد یعنی 〖(F^2)〗^’ (0)=〖(F^2)〗^’ (-1)=0 . نشان می دهد که این دو نقطه نقاط ثابت جذب کننده برای تکرار دوم F هستند. یعنی تحت تکرار F^2 چرخه های نقاط نزدیک 0 و 1- به این نقاط همگراه می شوند [24].
شکل 3 – 20 : نمودار تکرار دوم تابع F(x)=x^2-1 [24]
این ایده ها ما را تحریک می کند تا تعریف جذب کننده و دفع کننده چرخه را در یک مسیر طبیعی توسعه بدهیم. یک نقطه تناوبی با تناوب n جذب کننده ( دفع کننده ) است اگر آن یک نقطه ثابت جذب کننده ( دفع کننده ) برای F^n است. این سوال بلافاصله مطرح می شود که آیا چرخه های تناوبی می توانند شامل بعضی نقاط باشند که جذب کننده هستند و بعضی که دفع کننده هستند. همان طور که ما در زیر خواهیم دید محاسبات می گوید که این مورد نیست. برای اینکه تعیین کنیم که آیا نقطه تناوبی x_0 با دوره n جذب کننده یا دفع کننده است ما باید مشتق F^n در x_0 محاسبه کنیم. به خاطر داشته باشید که F^n ، n امین تکرار از F است نه n امین توان از F . می بینیم که این نیاز دارد که از قانون زنجیری استفاده کنیم. از محاسبات می فهمیم که اگر F و G تابع های دیفرانسیلی باشند مشتق ترکیبشان به صورت زیر است:
〖(FOG)〗^’ (x)= F^’ (G(x)).G^’ (x) ( 3 – 3 )
به ویژه:
〖(F^2)〗^’ (x_0 )=F^’ (F(x_0)).F^’ (x_0 ) ( 3 – 4 )
=〖 F〗^’ (x_1 ).F^’ (x_0 )
و
(F^3 )^’ (x_0 )= F^’ (F^2 (x_0 ) ).(F^2 )^’ (x_0) ( 3 – 5 )
=F^’ (x_2 ).F^’ (x_1 ).^’ (x_0)
قانون زنجیره ای61 در طول یک چرخه : فرض کنید x_0, x_1, … , x_(n-1) در یک چرخه با تناوب n برای F با x_i= F^i (x_0 ) قرار می گیرند.پس (F^n )^’ (x_0 )=F^’ (x_(n-1) ). … . F^’ (x_1 ).F^’ (x_0) رابطه ( 1 – 6 ) توجه کنید که این فرمول ها به ما می گویند که مشتق F^n در x_0 به سادگی تولید مشتق F همه نقاط در چرخه است. این معنی می دهد که ما مجبور نیستیم ابتدا فرمول را برای F^n محاسبه کنیم. ما نیاز داریم پیدا کنیم مشتق F را و سپس جایگزین کنیم در x_0, x_1, … , x_(n-1) به ترتیب و همه این اعداد را در هم ضرب کنیم [24].

3 – 9 انشعاب در معادلات ریاضی
در این بخش مطالعه خانواده کوادراتیک از تابع های Q_c (x)=x^2+c را شروع می کنیم که c ثابت است. در حالی که این تابع به اندازه کافی ساده به نظر می رسد خواهیم دید دینامیک آن به طور شگفت انگیزی پیچیده است. به راستی رفتار آن ها هنوز به طور کامل قابل فهم برای مقدار مشخصی c نیست. دراینجا دو نوع مهم از انشعاب که در دینامیک اتفاق می افتد را معرفی می کنیم [24].

3 – 10 دینامیک نقشه های کوادراتیک
در طول این قسمت اجازه می دهیم Q_c به خانواده ای از تابع های کوادراتیک Q_c (x)=x^2+c دلالت کند. شماره c یک پارامتر است – برای هر c متفاوت ما یک سیستم دینامیکی متفاوت Q_c می گیریم.هدف این است بفهمیم با تغییر c دینامیک های Q_c چگونه تغییر می کنند. به طور معمول وظیفه اولیه ما این است تا نقاط ثابت Q_c را پیدا کنیم. این نقاط ثابت توسط حل تابع کوادراتیک بدست می آیند:
x^2+c= x_1 ( 3 – 6 )
که منجر می شود به دو ریشه :
p_+=1/2(1+√(1-4c) ) ( 3 – 7 )

p_-=1/2(1-√(1-4c) ) ( 3 – 8 )

که دو نقطه ثابت برای Q_c هستند.
توجه کنید که p_+ و p_- واقعی هستند اگر و تنها اگر 1-4c≥0 یا c≤1⁄4 باشد. یعنی موقعی که c1⁄4 ، Q_c هیچ گونه نقطه ثابت ندارد. موقعی که c=1⁄4 ما داریم 1-4c=0 ، به طوریکه p_+=p_-=1⁄2 . سرانجام موقعی که c<1⁄4 و 1-4c>0 دو نقطه ثابت داریم به طوری که p_+ و p_- واقعی و مجزا هستند. توجه کنید که همیشه در این مورد p_+p_- را داریم. اکنون به حالت c1⁄4 برمی گردیم. موقعی که c1⁄4 نمودار Q_c خط قطری y=x را قطع نمی کند. از این رو تحلیل گرافیکی نشان می دهد که همه چرخه های Q_c موقعی که c1⁄4 به بینهایت تمایل دارد [24].
موقعی که c به زیر 1⁄4 کاهش می یابد این موقعیت تغییر می کند با اولین انشعابمان مواجه می شویم. برای c1⁄4 ، Q_c نقطه ثابت ندارد برای c=1⁄4، Q_c دقیقا یک نقطه ثابت دارد.اما برای c<1⁄4 این نقطه ثابت به دو قسمت تقسیم می شود یکی در p_+ و یکی در p_- . در قسمت بعدی ما خواهیم گفت که این نوع از انشعاب، انشعاب زینی62 یا انشعاب مماسی63 است. با استفاده از نتایج قسمت قبلی می توانیم چک کنیم که آیا نقاط ثابت p_± جذب کننده ، دفع کننده یا خنثی هستند. از آنجایی که Q_c^' (x)=2x پیدا می کنیم:
Q_c^’ (p_+)=1+√(1-4c) ( 3 – 9 )

Q_c^’ (p_- )=1-√(1-4c) ( 3 – 10 )
توجه کنید Q_c^’ (p_+ )=1 اگر c=1⁄4 باشد اما Q_c^’>1 برای c<1⁄4 چون √(1-4c)>0 برای این مقدار c است . از این رو p_+ یه نقطه ثابت خنثی است موقعی که c=1⁄4 است اما موقعی که c<1⁄4 دفع کننده است. موقعیت برای p_- کمی پیچیده تر است. داریم Q_c^' (p_- )=1 موقعی که c=1⁄4 ( اینجا البته p_+=p_-=1⁄2 ). موقعی c کمی زیر 1⁄4 است، Q_c^' (p_-)<1 ،بنابراین p_- جذب کننده می شود. برای اینکه پیدا کنیم مقدارهای c را که |Q_c^' (p_-)|<1 است باید نابرابری زیر را حل کنیم
-1و
-1<1-√(1-4c)<1
حل این نابرابری منجر می شود به
2>√(1-4c)0
41-4c0
-3⁄4قضیه انشعاب اول: برای خانواده Q_c (x)=x^2+c
اگر c>1⁄4 ،همه چرخه ها به بینهایت تمایل دارند.
موقعی که c=1⁄4 ، Q_c یک نقطه ثابت تنها در p_+=p_-=1⁄2 دارد که خنثی است.
برای c<1⁄4 ، Q_c دو نقطه ثابت در p_+ و p_- دارد.نقطه ثابت p_+ همیشه دفع کننده است.
a – اگر -3⁄4 b – اگر c=-3⁄4 باشد p_- خنثی است.
c – اگر c<-3⁄4 باشد p_- دفع کننده است.
برای هر c≤1⁄4 همه دینامیک های جالب در بازه -p_+≤x≤p_+ اتفاق می افتند. توجه کنید که Q_c (-p_+ )=p_+ به طوری که -p_+ عاقبت نقطه ثابت است.
به راستی تحلیل گرافیکی نشان می دهد که اگر x>p_+ یا x-p_+ پس چرخه x به بی نهایت گرایش دارد شکل ( 3 – 21 ).

شکل 3 – 21 : اگر c≤1⁄4 ، هر x با xp_+ یا x-p_+ یک چرخه داردکه به بی نهایت تمایل دارد [24].

می توان همچنین ثابت کرد برای -3⁄4شکل 3- 22 : تحلیل گرافیکی نشان می دهد که همه چرخه های Q_c در بازه -p_+اکنون توجه می کنیم به این که همچنان که c به زیر -3⁄4 کاهش می یابد چه اتفاق می افتد. از بالا ما می دانیم که نقطه ثابت p_- متوقف می شود تا جذب کننده باشد و دفع کننده می شود همچنان که این اتفاق می افتد ما همچنین می دانیم که چرخه های دیگری موقعی که c>-3⁄4 وجود ندارند . سوال می کنیم که ایا این درست است برای c-3⁄4 ؟ جواب نه است: یک چرخه با تناوب دو موقعی که c-3⁄4 آشکار می شود. برای اینکه این را ببینیم رابطه Q_c^2 (x)=x حل می کنیم معادله نتیجه شده درجه چهار است و سخت به نظر می رسد.
x^4+2cx^2-x+c^2+c=0 ( 1 – 12 )
دو تا راه حل از این معادله را، یعنی نقاط ثابت p_+ و p_- رامی دانیم از این رو x-p_+ و x-p_- فاکتورهای این رابطه هستند. ( برای c<1⁄4 ). بنابراین (x-p_+ )(x-p_- )=x^2+c-x . هر دوی p_+ و p_- نقاط ثابت هستند و بنابراین راه حل های x^2+c-x=0 هستند.
(x^4+2cx^2-x+c^2+c)/(x^2+c-x)=x^2+xc+1 ( 3 – 11 )
پس حل x^2+x+c+1=0 نقاط ثابت Q_c^2 را می دهد که همچنین نقاط تناوبی با تناوب دو برای Q_c هستند که این ریشه ها به صورت زیر هستند:
q_±=1/2(-1±√(-4c-3 ) ) ( 3 – 12 )
توجه کنید که q_± همچنین وابسته به c هستند. به علاوه q_± واقعی هستند اگر و تنها اگر -4c-3≥0 یعنی اگر c≤-3⁄4 باشد. از این رو یک نوع از انشعاب را داریم که یک انشعاب دوگانه تناوبی نامیده می شود. همان طور که c به زیر-3⁄4 کاهش می یابد دو اتفاق می افتد. نقطه ثابت p_- از جذب کننده به دفع کننده تغییر می کند و یک چرخه دوگانه جدید در q_± ظاهر می شود. توجه کنید موقعی که c=-3⁄4 ،داریم q_+=q_-=-1⁄2=p_- بنابراین این دو نقطه تناوبی جدید در p_- سرچشمه می گیرند موقعی که c=-3⁄4 است [24].
قضیه : انشعاب دوم64. برای خانواده Q_c (x)=x^2+c :
1 – برای -3⁄42 – برای c=-3⁄4 ، Q_c یک نقطه ثابت خنثی در p_-=q_± دارد و چرخه ندارد.
3 – برای -5⁄43 – 11 انشعاب زینی
در بخش های بعدی به طور موقت بررسی هایمان را روی خانواده ای کوادراتیک متمرکز می کنیم تا به طور کامل تر انشعاب گنجانده شده در بخش قبلی را بررسی کنیم. اینجا λ یک پارامتر است. به طوری که برای برای هر λ ، F_λ تابعی از x است.
فرض خواهیم کرد که F_λ وابسته به λ و x در چنین خانواده ای است. به عنوان مثال F_λ (x)=λx(1-x) ، S_λ (x)=λsin⁡(x) و E_λ (x)=exp⁡(x)+λ همه خانواده یک پارامتری از توابع هستند[24].
انشعاب در خانواده یک پارامتری از توابع موقعی اتفاق می افتد که یک تغییر درساختار نقطه ثابت یا تناوبی بوجودآید. از جمله مهمترین انشعاب ها انشعاب زینی یا مماسی است.
تعریف: یک خانواده تک پارامتری از توابع تحمل می کند یک انشعاب زینی در مقدار پارامترλ_0 اگر یک بازه بازI و یک ε>0 وجود داشته باشد به طوری که:
1 – برای λ_0-ελλ_0 ، F_λ نقطه ثابت در بازه I ندارد.
2 – برای λ=λ_0، F_λ یک نقطه ثابت در بازه I دارد. و این نقطه ثابت خنثی است.
3 – برای λ_0λλ_0+ε ، F_λ دو نقطه ثابت در بازه I دارد یکی جذب کننده و یکی دفع کننده است.
این یک تعریف پیچیده است. به طور شهودی این تعریف معنی زیر را می دهد: یک انشعاب زینی یا مماسی زمانی اتفاق می افتد اگر تابع F_λ نقطه ثابتی در بازه I برای مقدار λ کمتر از λ_0 ندارد دقیقا یک نقطه ثابت در بازه I موقعی که λ= λ_0 داردو دقیقا دو نقطه ثابت در بازه I برای λ کمتر از λ_0 دارد.
توجه :
1 – یک انشعاب زینی همچنین ممکن است اتفاق بیفتد اگر جهت انشعاب وارونه شود یعنی نقطه ثابتی برای λ_0+ελλ_0 نداشته باشیم و غیره .
2 – نقطه تناوبی ممکن است یک انشعاب زینی تحمل کند. که توسط جایگزینی F_λ با F_λ^n برای هر چرخه با تناوب n در تعریف بالا توصیف شده است.
3 – انشعاب زینی معمولا موقعی اتفاق می افتد که نمودار F_λ0 یک مماس درجه دوم با قطر در (x_0,x_0 ) دارد.( به طوری که F_λ0^’ (x_0 )=1 اما F_λ0^” (x_0)≠0 ).
این شرایط اشاره می کند که گراف F_λ0 مقعر به سمت بالا و پایین است به طوری که نزدیک x_0 ، F_λ0 تنها یک نقطه ثابت x_0 دارد.
4 – واقعیتی که F_λ0 مماس به قطر در x_0 است یک دلیل برای روش شناسی انشعاب مماسی است. اصطلاح زینی از یک توصیف از این انشعاب در بعد بالاتر و در میدان معادله های دیفرانسیلی می آید [24].
انشعاب زینی معمولی اتفاق می افتد همان طور که در شکل 3 -23 توضیح داده شده است. نمودار فازی در شکل 3 – 24 نشان داده شده است.

شکل 3 – 23 : انشعاب زینی معمولی [24]

شکل 3 – 24 : نمودار فازی برای (الف) λλ_0 ، (ب) λ=λ_0 و (ج) λλ_0 [24]

مثال : خانواده E_λ (x)=e^x+λ یک انشعاب زینی موقعی λ=

این نوشته در پایان نامه ها و مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید